Ache a solução geral do sistema dado.
X^prime=(rr 12 & 0 1 & -12 ) X, X(0)=binom35

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem o sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes
X' = A,X,
onde
A = tfrac12 & 0 1 & -tfrac12
e a condição inicial é
35
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares homogêneos via autovalores e autovetores. Vamos encontrar a base de soluções exponenciais e depois usar a condição inicial.

Passo 2

Para resolver, primeiro montamos o polinômio característico de A. Temos
det(A - lambda I) = dettfrac12-lambda & 0 1 & -tfrac12-lambda = (tfrac12-lambda)(-tfrac12-lambda)
Igualando a zero, obtemos
(tfrac12-lambda)(-tfrac12-lambda)=0
o que dá os autovalores
lambda1 = tfrac12, lambda2 = -tfrac12

Passo 3

Agora achamos os autovetores. Para lambda1=tfrac12, resolvemos
(A - tfrac12 I)v = 0 & 0 1 & -1v = 0
o que leva a v1=(1,1)^T. Para lambda2=-tfrac12, temos
(A + tfrac12 I)v = 1 & 0 1 & 0v = 0
o que dá v2=(0,1)^T.

Passo 4

A solução geral do sistema homogêneo é combinação linear das soluções próprias:
X(t) = C1 e^12 tv1 + C2 e^-12 tv2 = C1 e^12 t11 + C2 e^-12 t01

Passo 5

Por fim, aplicamos a condição inicial X(0)=35. Igualando,
35 = C111 + C201
o que dá
C1 = 3, 3 + C2 = 5 implies C2 = 2

Resposta

X(t)=3e^t/23e^t/2+2e^-t/2

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