Ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Nesse exercício, a gente tem o sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes
onde
e a condição inicial é
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares homogêneos via autovalores e autovetores. Vamos encontrar a base de soluções exponenciais e depois usar a condição inicial.
Passo 2
Para resolver, primeiro montamos o polinômio característico de
. Temos
Igualando a zero, obtemos
o que dá os autovalores
Passo 3
Agora achamos os autovetores. Para
, resolvemos
o que leva a
. Para
, temos
o que dá
.
Passo 4
A solução geral do sistema homogêneo é combinação linear das soluções próprias:
Passo 5
Por fim, aplicamos a condição inicial
. Igualando,
o que dá