Determinar a área da superfície do parabolóide z=x^2+y^2 exterior ao cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do paraboloide z = x² + y² que fica “para fora” (acima) do cone z = √(x² + y²). Vamos usar o conteúdo de cálculo de área de superfície de gráficas de funções z = f(x,y) e aplicar a fórmula da área de superfície.

Passo 2

Para funções z = f(x,y), a área de superfície sobre uma região D no plano xy é dada por
A = integral duplaD raiz1 + fx^2 + fy^2,dA
Aqui f(x,y)=x²+y², então precisamos calcular as derivadas parciais f_x e f_y.
É mais conveniente usar coordenadas cilíndricas: x = r cosθ, y = r sinθ. Então f(r,θ)=r². As derivadas são f_r = 2r e f_θ = 0, e o elemento de área dA = r
dr
dθ. Logo o elemento de área de superfície é
raiz1 + (2r)^2 + 0^2;r,dr,dθ = rraiz1 + 4r^2;dr,dθ

Passo 3

A parte do paraboloide que está acima do cone corresponde a r² ≥ r, ou seja r ≥ 1, com θ variando de 0 a 2π. O integral para a área fica
A = integralθ=0^2π integralr=1^infty rraiz1 + 4r^2;dr;dθ

Passo 4

Para ver se esse integral converge, olhamos o comportamento para r grande. Quando r → ∞, temos
rraiz1 + 4r^2 sim 2r^2,
e portanto
integral1^infty rraiz1 + 4r^2;dr sim integral1^infty 2r^2;dr = g[tfrac23r^3g]1^infty = infty
Isso mostra que o integral da área diverge.

Passo 5

Como o integral impróprio não converge, concluímos que a área da superfície do paraboloide exterior ao cone é infinita.

Resposta

A área diverge (é infinita).

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