Determinar a área da superfície do parabolóide
exterior ao cone
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do paraboloide z = x² + y² que fica “para fora” (acima) do cone z = √(x² + y²). Vamos usar o conteúdo de cálculo de área de superfície de gráficas de funções z = f(x,y) e aplicar a fórmula da área de superfície.
Passo 2
Para funções z = f(x,y), a área de superfície sobre uma região D no plano xy é dada por
Aqui f(x,y)=x²+y², então precisamos calcular as derivadas parciais f_x e f_y.
É mais conveniente usar coordenadas cilíndricas: x = r cosθ, y = r sinθ. Então f(r,θ)=r². As derivadas são f_r = 2r e f_θ = 0, e o elemento de área dA = r
dr
dθ. Logo o elemento de área de superfície é
É mais conveniente usar coordenadas cilíndricas: x = r cosθ, y = r sinθ. Então f(r,θ)=r². As derivadas são f_r = 2r e f_θ = 0, e o elemento de área dA = r
dr
dθ. Logo o elemento de área de superfície é
Passo 3
A parte do paraboloide que está acima do cone corresponde a r² ≥ r, ou seja r ≥ 1, com θ variando de 0 a 2π. O integral para a área fica
Passo 4
Para ver se esse integral converge, olhamos o comportamento para r grande. Quando r → ∞, temos
e portanto
Isso mostra que o integral da área diverge.
Passo 5
Como o integral impróprio não converge, concluímos que a área da superfície do paraboloide exterior ao cone é infinita.
Resposta
A área diverge (é infinita).