Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o retrato de fase correspondente:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar a solução geral do sistema
- Desenhar (descrever) o retrato de fase correspondente.
Informações dadas (que vamos usar):
- O sistema é linear e autônomo com coeficientes constantes.
- A matriz de coeficientes é
Não há condições iniciais específicas, portanto será fornecida a solução geral com constantes arbitrárias.]
Passo 2
Transformação em forma matricial e plano de ataque.
Escrevemos o sistema como
Método escolhido: encontrar autovalores (
) e autovetores de
, porque para sistemas lineares com coeficientes constantes a solução geral é construída a partir dos autovalores/autovetores (ou, no caso de autovalores complexos, a partir das partes real e imaginária do autovetor). Esse método é o padrão e é eficiente para 2×2.]
Passo 3
Cálculo do polinômio característico e dos autovalores.
O polinômio característico é
Calculando:
Expandindo:
Logo o polinômio característico é
As raízes são
Portanto os autovalores são
.
Comentário didático curto: autovalores complexos conjugados
com
indicam soluções oscilatórias moduladas por
; o sinal de
diz se as órbitas crescem (
) ou decaem (
).]
Passo 4
Encontrar um autovetor para
.
Resolvemos
. A matriz
é
Da primeira linha temos a equação
Escolhendo
(podemos escalar o autovetor livremente), obtemos
Escrevemos
nas partes real e imaginária:
com
Passo 5
Construir as soluções reais a partir de
e
.
Teorema (explicação): se
é autovalor com autovetor
(com
reais,
), então duas soluções reais fundamentais são
Aqui
controla crescimento/decaimento exponencial e
é a frequência angular das oscilações.
No nosso caso
e
, com
e
dados acima. Calculamos explicitamente:
Para
:
Para
:
Passo 6
Escrever a solução geral real do sistema.
A solução geral é combinação linear das duas soluções fundamentais:
ou explicitando as componentes com constantes
:
Podemos reorganizar os coeficientes de
e
na segunda componente, se desejar:
Essas fórmulas são a solução geral real do sistema.]
Passo 7
Comportamento temporal e interpretação geométrica (retrato de fase).
- O fator
com mostra que as soluções crescem exponencialmente em módulo quando . Portanto a origem é um ponto de equilíbrio instável. - A parte imaginária
dá oscilações com frequência angular , ou seja período . - A combinação oscilatória multiplicada por
caracteriza uma espiral: as trajetórias giram e o raio aumenta exponencialmente. Como , é uma espiral repulsora (spiral source / foco instável). - Sentido de giro (horário vs anti-horário): para descobrir o sentido, avalia-se o campo de vetores em um ponto simples. Em
temos
isto é, a velocidade aponta para cima e para a direita, ou seja a trajetória sai do eixo
indo para cima: isso corresponde a um giro no sentido anti-horário (contra‑relógio). Portanto as espirais se expandem girando no sentido anti-horário.
Resumo visual (descrição para desenhar):
- Origem: foco instável (espiral repulsora).
- Trajetórias: curvas espirais que saem da origem, girando anti-horário, com raio crescendo como
. - Periodicidade angular: período de oscilação
(ângulo cresce aproximadamente a radianos).]
Resposta
O retrato de fase: a origem é um foco instável (espiral repulsora); as trajetórias são espirais que se afastam exponencialmente do equilíbrio, girando no sentido anti‑horário (frequência angular
, período
).]