Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o retrato de fase correspondente:
\{\begin{array}{rlr}x_{1}^{\prime}(t) & =-x_{1}(t) & -4 x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t) & =x_{1}(t) & -x_{2}(t)\end{array}\}

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações
\begin{cases} x_{1}^{\prime}(t) = -x_{1}(t) - 4x_{2}(t),\\[4pt] x_{2}^{\prime}(t) = x_{1}(t) - x_{2}(t), \end{cases}
e pede duas coisas:
  • achar a solução geral do sistema;
  • desenhar (descrever) o retrato de fase correspondente.
Informações relevantes fornecidas:
  • As equações são lineares e homogêneas com coeficientes constantes.
  • Podemos escrever o sistema na forma matricial x'(t)=A x(t) com
A=\begin{pmatrix}-1 & -4\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método): para um sistema linear x'=Ax procuramos os autovalores \lambda e autovetores v da matriz A. Os autovalores satisfazem o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Se surgirem autovalores complexos conjugados \alpha\pm i\beta com autovetor complexo v=a+ib (com a,b vetores reais), então duas soluções reais fundamentais do sistema são
e^{\alpha t}\bigl(a\cos(\beta t)-b\sin(\beta t)\bigr) \quad\text{e}\quad e^{\alpha t}\bigl(a\sin(\beta t)+b\cos(\beta t)\bigr).
Qualquer solução real é combinação linear dessas duas. Isso vem de escrever a solução complexa e^{(\alpha+i\beta)t}v e separar em parte real e imaginária.

Passo 3

Calcular o polinômio característico de A. A matriz A-\lambda I é
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-1-\lambda & -4\\[4pt] 1 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)^2 -(-4)(1) = (\lambda+1)^2+4 = \lambda^2+2\lambda+5.
Resolvendo \lambda^2+2\lambda+5=0 pela fórmula quadrática:
\lambda = \frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2} = -1\pm 2i.
Portanto os autovalores são complexos conjugados \lambda_{1,2}=-1\pm 2i. Aqui \alpha=-1 (parte real) e \beta=2 (parte imaginária positiva).]

Passo 4

Encontrar um autovetor associado a \lambda=-1+2i. Resolvemos (A-\lambda I)v=0. Para \lambda=-1+2i temos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-2i & -4\\[4pt] 1 & -2i\end{pmatrix}.
Escrevendo v=(v_1,v_2)^T, a primeira linha dá -2i\,v_1-4\,v_2=0, ou seja -2i v_1 = 4 v_2. Assim
v_1 = \frac{4}{-2i}v_2 = 2i\,v_2.
Tomando v_2=1 (escolha conveniente), um autovetor é
v=\begin{pmatrix}2i\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Agora escrevemos v=a+ib com a,b reais: aqui
a=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 0\end{pmatrix},
pois v = 0 + i(2,0)^T + (0,1)^T — mais diretamente v=(2i,1)^T dá parte real a=(0,1)^T e parte imaginária b=(2,0)^T.]

Passo 5

Usando a fórmula do Passo 2 com \alpha=-1, \beta=2, a=(0,1)^T e b=(2,0)^T, as duas soluções reais fundamentais são
\phi_1(t)=e^{-t}\bigl(a\cos(2t)-b\sin(2t)\bigr) = e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix},
\phi_2(t)=e^{-t}\bigl(a\sin(2t)+b\cos(2t)\bigr) = e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos(2t)\\[4pt]\sin(2t)\end{pmatrix}.
Portanto a solução geral (combinação linear dessas) é
x(t)=C_1\phi_1(t)+C_2\phi_2(t),
ou escrevendo por componentes,
x_1(t)=2e^{-t}\bigl(C_2\cos(2t)-C_1\sin(2t)\bigr), \qquad x_2(t)=e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr),
onde C_1,C_2 são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.]

Passo 6

Interpretação e retrato de fase (didática):
  • Como os autovalores têm parte real \alpha=-1<0, todas as soluções decaem exponencialmente para o ponto de equilíbrio x=0 quando t\to\infty. Assim o ponto 0 é um foco assintoticamente estável (espiral atrativa).
  • A parte imaginária \beta=2 determina a frequência angular das oscilações: as soluções oscilam com frequência 2 (em radianos por unidade de tempo), logo o período das oscilações é
T=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{2}=\pi.
  • Sentido de rotação: para verificar se as trajetórias giram horário ou anti-horário, avalia-se o campo vetorial em um ponto exemplo. Se x(0)=(1,0)^T então x'(0)=A(1,0)^T=(-1,1)^T, que aponta para cima e para a esquerda; isso corresponde a um movimento inicial no sentido anti-horário (ângulo aumentando). Logo as espirais giram no sentido anti-horário ao aproximarem-se da origem.
  • Resumo do retrato de fase: curvas em espiral que entram para a origem (espiral estável/sink), girando anti-horário, com decaimento exponencial \sim e^{-t} e rotação angular com velocidade 2.

Resposta

x(t)=C_1 e^{-t}\begin{pmatrix}-2\sin(2t)\\[4pt]\cos(2t)\end{pmatrix} + C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}2\cos(2t)\\[4pt]\sin(2t)\end{pmatrix}, \qquad C_1,C_2\in\mathbb{R}.
Trajetórias: espirais atrativas (foco assintoticamente estável) que giram no sentido anti-horário, com decaimento exponencial e^{-t} e frequência angular 2 (período \pi).]

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