Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o retrato de fase correspondente:
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações
e pede duas coisas:
- achar a solução geral do sistema;
- desenhar (descrever) o retrato de fase correspondente.
Informações relevantes fornecidas:
- As equações são lineares e homogêneas com coeficientes constantes.
- Podemos escrever o sistema na forma matricial
com
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método): para um sistema linear
procuramos os autovalores
e autovetores
da matriz
. Os autovalores satisfazem o polinômio característico
. Se surgirem autovalores complexos conjugados
com autovetor complexo
(com
vetores reais), então duas soluções reais fundamentais do sistema são
Qualquer solução real é combinação linear dessas duas. Isso vem de escrever a solução complexa
e separar em parte real e imaginária.
Passo 3
Calcular o polinômio característico de
. A matriz
é
O determinante é
Resolvendo
pela fórmula quadrática:
Portanto os autovalores são complexos conjugados
. Aqui
(parte real) e
(parte imaginária positiva).]
Passo 4
Encontrar um autovetor associado a
. Resolvemos
. Para
temos
Escrevendo
, a primeira linha dá
, ou seja
. Assim
Tomando
(escolha conveniente), um autovetor é
Agora escrevemos
com
reais: aqui
pois
— mais diretamente
dá parte real
e parte imaginária
.]
Passo 5
Usando a fórmula do Passo 2 com
,
,
e
, as duas soluções reais fundamentais são
Portanto a solução geral (combinação linear dessas) é
ou escrevendo por componentes,
onde
são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.]
Passo 6
Interpretação e retrato de fase (didática):
- Como os autovalores têm parte real
, todas as soluções decaem exponencialmente para o ponto de equilíbrio quando . Assim o ponto é um foco assintoticamente estável (espiral atrativa). - A parte imaginária
determina a frequência angular das oscilações: as soluções oscilam com frequência (em radianos por unidade de tempo), logo o período das oscilações é
- Sentido de rotação: para verificar se as trajetórias giram horário ou anti-horário, avalia-se o campo vetorial em um ponto exemplo. Se
então , que aponta para cima e para a esquerda; isso corresponde a um movimento inicial no sentido anti-horário (ângulo aumentando). Logo as espirais giram no sentido anti-horário ao aproximarem-se da origem. - Resumo do retrato de fase: curvas em espiral que entram para a origem (espiral estável/sink), girando anti-horário, com decaimento exponencial
e rotação angular com velocidade .
Resposta
Trajetórias: espirais atrativas (foco assintoticamente estável) que giram no sentido anti-horário, com decaimento exponencial
e frequência angular
(período
).]