Seja a uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de f(t)= sen at é
F(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \quad s>0
e a de g(t)=t \cos a t é
G(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}}, \quad s>0

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma constante \,a\,.
  • A função f(t)=\sin a t e afirma que sua transformada de Laplace é
F(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\quad s>0.
  • A função g(t)=t\cos a t e afirma que sua transformada de Laplace é
G(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}},\quad s>0.
O que se pede (implícito): verificar/mostrar as transformadas indicadas, ou seja, calcular \mathcal{L}\{\sin a t\}(s) e \mathcal{L}\{t\cos a t\}(s) e obter as expressões acima.

Passo 2

Definição e cálculo de \mathcal{L}\{\sin a t\}(s).
A transformada de Laplace de uma função h(t) é definida por
\mathcal{L}\{h(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}h(t)\,dt,
sempre que a integral converja. Vamos aplicar isso a h(t)=\sin a t. Considere a integral complexa auxiliar
\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{i a t}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i a)t}\,dt.
Como \Re(s-i a)=s>0, essa integral converge e vale
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i a)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-i a)t}}{-(s-i a)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-i a}.
Agora observe que \sin a t é a parte imaginária de e^{i a t}, logo
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin a t\,dt=\Im\!\left(\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{i a t}\,dt\right)=\Im\!\left(\frac{1}{s-i a}\right).
Calcule a parte imaginária de 1/(s-i a). Escrevendo sobre denominador conjugado,
\frac{1}{s-i a}=\frac{s+i a}{s^{2}+a^{2}},
portanto a parte imaginária é a/(s^{2}+a^{2}). Conclui-se que
\mathcal{L}\{\sin a t\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin a t\,dt=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\quad s>0.

Passo 3

Comentário didático curto sobre a condição s>0 e alternativa por partes.
A condição s>0 garante e^{-st} decair exponencialmente para t\to\infty, o que torna convergente a integral. Outra forma de obter o mesmo resultado é integrar por partes duas vezes na integral original; o método do exponencial complexo é mais curto e elegante.

Passo 4

Propriedade útil: transformada de t multiplicando uma função.
Uma propriedade muito prática da transformada de Laplace é que multiplicar a função por t corresponde a derivar a transformada em s com sinal negativo. Mais precisamente, se
H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}h(t)\,dt,
então, sob hipóteses de troca de derivada e integral,
\frac{d}{ds}H(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{-st}h(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{-st}\bigr)h(t)\,dt=-\int_{0}^{\infty}t e^{-st}h(t)\,dt.
Logo
\mathcal{L}\{t\,h(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}H(s).
Isto é muito útil para calcular transformadas de funções multiplicadas por t sem fazer integrais impraticáveis.

Passo 5

Aplicação da propriedade ao caso g(t)=t\cos a t.
Primeiro precisamos da transformada de \cos a t. Pela mesma técnica do exponencial complexo (ou reconhecendo tabela padrão) tem-se
\mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos a t\,dt=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\quad s>0.
Agora aplique a propriedade de derivação em s para obter \mathcal{L}\{t\cos a t\}:
\mathcal{L}\{t\cos a t\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right).
Façamos a derivada com cuidado usando a regra do quociente. Seja
H(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Então
\frac{d}{ds}H(s)=\frac{(1)(s^{2}+a^{2})-s(2s)}{(s^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{s^{2}+a^{2}-2s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{a^{2}-s^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Multiplicando por -1 (pela propriedade) obtemos
\mathcal{L}\{t\cos a t\}(s)=-\frac{d}{ds}H(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}},\quad s>0,
que é exatamente a expressão afirmada.

Passo 6

Resumo intuitivo e dica de prova na prova.
  • Para \sin a t vale usar o exponencial complexo ou integrais por partes; ambos dão \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}.
  • Para t multiplicando uma função, use \mathcal{L}\{t h(t)\}(s)=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{h(t)\}(s). Assim, sabendo \mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} basta derivar e colocar sinal negativo para obter a transformada de t\cos a t.

Resposta

\mathcal{L}\{\sin a t\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\quad s>0
\mathcal{L}\{t\cos a t\}(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}},\quad s>0

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