Seja
uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de
sen at é
e a de
é
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma constante
. - A função
e afirma que sua transformada de Laplace é
- A função
e afirma que sua transformada de Laplace é
O que se pede (implícito): verificar/mostrar as transformadas indicadas, ou seja, calcular
e
e obter as expressões acima.
Passo 2
Definição e cálculo de
.
A transformada de Laplace de uma função
é definida por
sempre que a integral converja. Vamos aplicar isso a
. Considere a integral complexa auxiliar
Como
, essa integral converge e vale
Agora observe que
é a parte imaginária de
, logo
Calcule a parte imaginária de
. Escrevendo sobre denominador conjugado,
portanto a parte imaginária é
. Conclui-se que
Passo 3
Comentário didático curto sobre a condição
e alternativa por partes.
A condição
garante
decair exponencialmente para
, o que torna convergente a integral. Outra forma de obter o mesmo resultado é integrar por partes duas vezes na integral original; o método do exponencial complexo é mais curto e elegante.
Passo 4
Propriedade útil: transformada de
multiplicando uma função.
Uma propriedade muito prática da transformada de Laplace é que multiplicar a função por
corresponde a derivar a transformada em
com sinal negativo. Mais precisamente, se
então, sob hipóteses de troca de derivada e integral,
Logo
Isto é muito útil para calcular transformadas de funções multiplicadas por
sem fazer integrais impraticáveis.
Passo 5
Aplicação da propriedade ao caso
.
Primeiro precisamos da transformada de
. Pela mesma técnica do exponencial complexo (ou reconhecendo tabela padrão) tem-se
Agora aplique a propriedade de derivação em
para obter
:
Façamos a derivada com cuidado usando a regra do quociente. Seja
Então
Multiplicando por
(pela propriedade) obtemos
que é exatamente a expressão afirmada.
Passo 6
Resumo intuitivo e dica de prova na prova.
- Para
vale usar o exponencial complexo ou integrais por partes; ambos dão . - Para
multiplicando uma função, use . Assim, sabendo basta derivar e colocar sinal negativo para obter a transformada de .