(1) Ache a solução geral do sistema
X^prime(t)=(cc 2 & 1 -1 & 2 ) X(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou:
X^prime(t) = 2 & 1 -1 & 2 X(t)
Aqui, o conteúdo principal é sobre sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os valores próprios da matriz:
A = 2 & 1 -1 & 2
Para isso, resolvemos o determinante da matriz A - lambda I igual a zero:
det(A - lambda I) = det 2 - lambda & 1 -1 & 2 - lambda = (2 - lambda)^2 - (-1)(1) = (2 - lambda)^2 + 1 = 0
Resolvendo:
(2 - lambda)^2 = -1 implies 2 - lambda = pm i implies lambda = 2 pm i
Então, os valores próprios são $ \lambda_1 = 2 + i $ e $ \lambda_2 = 2 - i $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes. Vamos começar com $ \lambda_1 = 2 + i $.
Resolvemos $ (A - \lambda_1 I) v = 0 $:
lambda1 = 2 + i
Isso nos dá as equações:
(A - lambda1 I) v = 0
Da primeira equação, $ v_2 = i v_1 $. Podemos escolher $ v_1 = 1 $, então o vetor próprio é $ v_1 = 2 - (2 + i) & 1 -1 & 2 - (2 + i) = -i & 1 -1 & -i $.

Passo 4

Para $ \lambda_2 = 2 - i $, seguimos o mesmo processo:
lambda2 = 2 - i
As equações ficam:
2 - (2 - i) & 1 -1 & 2 - (2 - i) = i & 1 -1 & i
Da primeira equação, $ v_2 = -i v_1 $. Escolhendo $ v_1 = 1 $, o vetor próprio é $ v_2 = i v1 + v2 = 0 e -v1 + i v2 = 0 $.

Passo 5

Com os valores e vetores próprios, podemos construir a solução geral do sistema. Como temos autovalores complexos, usamos a forma:
X(t) = e^alpha t [ C1 cos(beta t) sin(beta t) + C2 -sin(beta t) cos(beta t) ]
Onde $ \alpha = 2 $ e $ \beta = 1 $ (parte real e imaginária dos autovalores).

Resposta

A solução geral do sistema é
X(t) = e^2t [ C1 cos t sin t + C2 -sin t cos t ]
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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