(1) Ache a solução geral do sistema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou:
Aqui, o conteúdo principal é sobre sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os valores próprios da matriz:
Para isso, resolvemos o determinante da matriz
igual a zero:
Resolvendo:
Então, os valores próprios são $ \lambda_1 = 2 + i $ e $ \lambda_2 = 2 - i $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes. Vamos começar com $ \lambda_1 = 2 + i $.
Resolvemos $ (A - \lambda_1 I) v = 0 $:
Isso nos dá as equações:
Da primeira equação, $ v_2 = i v_1 $. Podemos escolher $ v_1 = 1 $, então o vetor próprio é $ v_1 =
$.
Passo 4
Para $ \lambda_2 = 2 - i $, seguimos o mesmo processo:
As equações ficam:
Da primeira equação, $ v_2 = -i v_1 $. Escolhendo $ v_1 = 1 $, o vetor próprio é $ v_2 =
$.
Passo 5
Com os valores e vetores próprios, podemos construir a solução geral do sistema. Como temos autovalores complexos, usamos a forma:
Onde $ \alpha = 2 $ e $ \beta = 1 $ (parte real e imaginária dos autovalores).
Resposta
A solução geral do sistema é
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.