Resolva o problema de valor inicial apresentado abaixo para encontrar as duas funções correspondentes à solução particular. No campo de respostas, informe o valor de calculada em segundos.
Considerando as condições iniciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me passou é sobre resolver um sistema de equações diferenciais com condições iniciais. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e sistemas lineares. Basicamente, temos duas funções, e , que estão relacionadas entre si através de derivadas e termos constantes. Nosso objetivo é encontrar essas funções e, especificamente, descobrir o valor de , ou seja, o valor de quando segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
As derivadas e indicam como e mudam ao longo do tempo .
Passo 3
Vamos resolver esse sistema usando o método de diagonalização. Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é:
Para encontrar os valores próprios, resolvemos o determinante :
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores próprios são complexos: .
Passo 4
Com os valores próprios, a solução geral do sistema é dada por:
Onde e , e é a solução particular.
Para simplificar, vamos considerar que não há termos independentes na solução particular devido aos termos constantes nos equações originais.
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e . Sabemos que:
Substituindo na solução geral:
Então, e .
Passo 6
Agora temos todas as constantes definidas, podemos escrever a solução completa: