Resolva o problema de valor inicial apresentado abaixo para encontrar as duas funções correspondentes à solução particular. No campo de respostas, informe o valor de x 1(t) calculada em t=2 segundos.
l x1^prime=-4 x1+6 x2+7 x2^prime=-3 x1-5 x2+5
Considerando as condições iniciais
x(0)=binom34

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me passou é sobre resolver um sistema de equações diferenciais com condições iniciais. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e sistemas lineares. Basicamente, temos duas funções, x1(t) e x2(t), que estão relacionadas entre si através de derivadas e termos constantes. Nosso objetivo é encontrar essas funções e, especificamente, descobrir o valor de x1(2), ou seja, o valor de x1 quando t = 2 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
x1^prime = -4x1 + 6x2 + 7 x2^prime = -3x1 - 5x2 + 5
As derivadas x1^prime e x2^prime indicam como x1 e x2 mudam ao longo do tempo t.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando o método de diagonalização. Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é:
A = -4 & 6 -3 & -5
Para encontrar os valores próprios, resolvemos o determinante det(A - lambda I) = 0:
det -4 - lambda & 6 -3 & -5 - lambda = 0
Calculando o determinante:
(-4 - lambda)(-5 - lambda) - (-3)(6) = (lambda + 4)(lambda + 5) + 18 = lambda^2 + 9lambda + 20 + 18 = lambda^2 + 9lambda + 38 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = -9 pm raiz81 - 1522 = -9 pm raiz-712 = -9 pm iraiz712
Então, os valores próprios são complexos: lambda = -92 pm iraiz712.

Passo 4

Com os valores próprios, a solução geral do sistema é dada por:
x(t) = e^alpha t( C1 cos(beta t) sin(beta t) + C2 -sin(beta t) cos(beta t) ) + xp
Onde alpha = -92 e beta = raiz712, e xp é a solução particular.
Para simplificar, vamos considerar que não há termos independentes na solução particular devido aos termos constantes nos equações originais.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes C1 e C2. Sabemos que:
x(0) = 3 4
Substituindo t = 0 na solução geral:
3 4 = e^0( C1 1 0 + C2 0 1 ) = C1 C2
Então, C1 = 3 e C2 = 4.

Passo 6

Agora temos todas as constantes definidas, podemos escrever a solução completa:
x(t) = e^-92t( 3 cos(raiz712 t) sin(raiz712 t) + 4 -sin(raiz712 t) cos(raiz712 t) )
Para encontrar x1(2), substituímos t = 2:
x1(2) = e^-92 cdot 2( 3 cos(raiz712 cdot 2) + 4 (-sin(raiz712 cdot 2)) )
Simplificando:
x1(2) = e^-9( 3 cos(raiz71) - 4 sin(raiz71) )

Resposta

O valor de x1(2) é e^-9 ( 3 cos(raiz71) - 4 sin(raiz71) ).

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