Quais os valores de a e b para que o sistema seja oscilatório puro com frequência de oscilação de 60 Hz :
G(s)=1s^2+a s+b

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que o sistema dado por
a
seja oscilatório puro com uma frequência de oscilação de 60 Hz. Aqui, estamos lidando com sistemas dinâmicos e funções de transferência. Para resolver isso, vamos precisar entender como a frequência de oscilação e o comportamento do sistema estão relacionados aos coeficientes $ a $ e $ b $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de transferência no formato
G(s) = 1s^2 + a s + b
representa um sistema de segunda ordem. A forma geral de uma função de segunda ordem é
G(s) = omegan^2s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2
onde:
  • $ \omega_n $ é a frequência natural do sistema,
  • $ \zeta $ é o coeficiente de amortecimento.
Comparando as duas expressões, percebemos que:
omegan

Passo 3

Agora, queremos que o sistema seja oscilatório puro. Isso significa que o sistema oscila sem amortecimento, ou seja, não tem amortecimento. Na nossa terminologia, isso ocorre quando o coeficiente de amortecimento $ \zeta = 0 $.
Se $ \zeta = 0 $, então:
zeta = 0
Portanto, já sabemos que:
zeta = 0

Passo 4

Com $ a = 0 $, a função de transferência fica:
a = 0
Agora, precisamos relacionar $ b $ com a frequência de oscilação desejada, que é 60 Hz.
Sabemos que a frequência natural $ \omega_n $ está relacionada à frequência em Hertz ($ f $) pela fórmula:
G(s) = 1s^2 + b
onde:
  • $ f = 60 $ Hz,
  • $ \omega_n $ será em radianos por segundo (rad/s).

Passo 5

Calculando $ \omega_n $:
omegan
Agora, como $ \omega_n^2 = b $, temos:
omegan = 2 pi times 60 = 120 pi , rad/s

Passo 6

Calculando o valor numérico de $ b $:
b
(aproximando $ \pi^2 \approx 9,8696 $)

Resposta

Os valores são $ a = 0 $ e $ b = 14400 \pi^{2} $ rad²/s².

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