Quais os valores de
e
para que o sistema seja oscilatório puro com frequência de oscilação de 60 Hz :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que o sistema dado por
seja oscilatório puro com uma frequência de oscilação de 60 Hz. Aqui, estamos lidando com sistemas dinâmicos e funções de transferência. Para resolver isso, vamos precisar entender como a frequência de oscilação e o comportamento do sistema estão relacionados aos coeficientes $ a $ e $ b $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de transferência no formato
representa um sistema de segunda ordem. A forma geral de uma função de segunda ordem é
onde:
- $ \omega_n $ é a frequência natural do sistema,
- $ \zeta $ é o coeficiente de amortecimento.
Comparando as duas expressões, percebemos que:
Passo 3
Agora, queremos que o sistema seja oscilatório puro. Isso significa que o sistema oscila sem amortecimento, ou seja, não tem amortecimento. Na nossa terminologia, isso ocorre quando o coeficiente de amortecimento $ \zeta = 0 $.
Se $ \zeta = 0 $, então:
Portanto, já sabemos que:
Passo 4
Com $ a = 0 $, a função de transferência fica:
Agora, precisamos relacionar $ b $ com a frequência de oscilação desejada, que é 60 Hz.
Sabemos que a frequência natural $ \omega_n $ está relacionada à frequência em Hertz ($ f $) pela fórmula:
onde:
- $ f = 60 $ Hz,
- $ \omega_n $ será em radianos por segundo (rad/s).
Passo 5
Calculando $ \omega_n $:
Agora, como $ \omega_n^2 = b $, temos:
Passo 6
Calculando o valor numérico de $ b $:
(aproximando $ \pi^2 \approx 9,8696 $)
Resposta
Os valores são $ a = 0 $ e $ b = 14400 \pi^{2} $ rad²/s².