(2) Ache uma solução particular do sistema
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma solução particular do sistema de equações diferenciais dado por:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear não homogêneo de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar soluções particulares para sistemas desse tipo, geralmente assumindo uma forma específica para a solução e determinando os coeficientes que satisfazem o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar uma solução particular $ X_p(t) $ para o sistema. Como o termo não homogêneo é
, que é uma função linear em $ t $, assumiremos que a solução particular também será uma função linear de $ t $. Então, vamos supor que:
onde $ a, b, c, $ e $ d $ são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de $ X_p(t) $:
Em seguida, substituímos $ X_p(t) $ e $ X_p^{\prime}(t) $ no sistema original:
Passo 4
Vamos agora realizar a multiplicação da matriz pelos vetores:
Somando os vetores:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes das potências de $ t $ e os termos constantes de cada componente do vetor:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Passo 6
Agora, vamos resolver essas equações:
- Da primeira equação da primeira componente:
- Da segunda equação da primeira componente:
- Da primeira equação da segunda componente:
- Da segunda equação da segunda componente:
Passo 7
Substituindo a equação (3) na equação (1):
Como $ a = c $, então:
Agora, usando a equação (4) para $ b $:
E substituindo na equação (2):
Então:
Resposta
Então, os valores encontrados são $ a = -\frac{1}{2} $, $ b = 0 $, $ c = -\frac{1}{2} $, e $ d = 0 $. Portanto, a solução particular do sistema é: