Seja a uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de f(t)=\operatorname{sen} a t é
F(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \quad s>0
e a de g(t)=t \cos a t é
G(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{\left(s^{2}+a^{2}\right) 2}, s>0
mostre que a transformada de Laplace de h(t)=\operatorname{sen} a t-a t \cos a t é
H(s)=\frac{2 a^{3}}{\left(s^{2}+a^{2}\right) 2}, \quad s>0

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
h(t)=\sin(a t)-a\,t\cos(a t),
sabendo que
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \quad \mathcal{L}\{t\cos(a t)\}(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}},
para s>0. O conteúdo aqui é aplicação da linearidade da transformada de Laplace e manipulação algébrica de frações.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade temos
\mathcal{L}\{h(t)\}(s) =\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s) - a\,\mathcal{L}\{t\cos(a t)\}(s).

Passo 3

Substituindo as fórmulas dadas para \sin(a t) e para t\cos(a t) obtemos
H(s) =\frac{a}{s^{2}+a^{2}} - a\;\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 4

Para somar as frações, colocamos o mesmo denominador (s^{2}+a^{2})^{2}:
H(s) =\frac{a(s^{2}+a^{2})}{(s^{2}+a^{2})^{2}} -\frac{a(s^{2}-a^{2})}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 5

No numerador juntamos termos semelhantes:
a(s^{2}+a^{2})-a(s^{2}-a^{2}) =a\,s^{2}+a^{3}-a\,s^{2}+a^{3} =2a^{3}.

Passo 6

Logo
H(s) =\frac{2a^{3}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}, \quad s>0.

Resposta

H(s)=\frac{2a^{3}}{(s^{2}+a^{2})^{2}},\quad s>0.

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