Ache a solução geral dos sistemas:
(a)
\left\{ \begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=a x_{1}(t)+2 x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=-2 x_{1}(t) \end{array} \right.
(b)
\left\{ \begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=a x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=-2 x_{1}(t)-2 x_{2}(t) \end{array} \right.

Passo 1

O problema pede a solução geral (ou família de soluções) dos dois sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
\text{(a)}\quad \begin{cases} x_{1}'(t)=a\,x_{1}(t)+2\,x_{2}(t),\\[4pt] x_{2}'(t)=-2\,x_{1}(t), \end{cases}
\text{(b)}\quad \begin{cases} x_{1}'(t)=a\,x_{2}(t),\\[4pt] x_{2}'(t)=-2\,x_{1}(t)-2\,x_{2}(t). \end{cases}
Informações dadas que vamos usar:
  • Em cada caso a é um parâmetro real fixo (não nos foi dito que seja específico, então a solução deve contemplar o a geral).
  • Queremos a solução geral x(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t))^{T}, ou seja, a família de soluções com constantes arbitrárias.
  • Cada sistema é linear e homogêneo com matriz constante; portanto há uma abordagem padrão que permite escrever a solução geral em termos dos autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.]

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar (este é o método padrão e mais direto para esses sistemas). Para um sistema linear homogêneo com matriz constante
\frac{d}{dt}x(t)=A\,x(t),
a solução geral pode ser construída a partir dos autovalores \lambda e autovetores v da matriz A:
  • Se A tem dois autovalores reais e dois autovetores linearmente independentes \,v_{1},v_{2}, então
x(t)=C_{1}v_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}v_{2}e^{\lambda_{2}t}.
  • Se os autovalores são complexos conjugados \alpha\pm i\omega, tomamos a parte real e a parte imaginária da solução complexa para obter duas soluções reais da forma e^{\alpha t}(\text{combinação de }\cos\omega t,\sin\omega t)çã.
  • Se um autovalor real é duplo e há só um autovetor, precisamos de um autovetor generalizado e a solução tem termos do tipo e^{\lambda t}(v\,t + u).
    Vou aplicar esse procedimento a cada sistema, calculando a matriz A, o polinômio característico, os autovalores e depois os autovetores (e autovetor generalizado quando necessário). Vou tratar separadamente os casos: autovalores reais distintos, complexos e caso degenerado (autovalor duplo).

Passo 3

Resolvendo o item (a): escrevendo em forma matricial
\frac{d}{dt}x(t)=A\,x(t),\qquad A=\begin{pmatrix}a & 2\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix}, \quad x(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt]x_{2}(t)\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}a-\lambda & 2\\[4pt]-2 & -\lambda\end{pmatrix} =(a-\lambda)(-\lambda)-2(-2)=\lambda^{2}-a\lambda+4.
Logo os autovalores satisfazem
\lambda^{2}-a\lambda+4=0,
cuja solução é
\lambda_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}-16}}{2}.
Defino o discriminante \Delta=a^{2}-16. A partir daqui temos três situações a considerar.]

Passo 4

Caso \Delta>0 (isto é, a^{2}>16): autovalores reais e distintos.
  • Os autovalores são \lambda_{1}=\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-16}}{2} e \lambda_{2}=\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-16}}{2}.
  • Para um autovalor genérico \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0. A primeira linha dá
(a-\lambda)v_{1}+2v_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad v_{2}=-\frac{a-\lambda}{2}v_{1}.
Tomando v_{1}=1 obtemos um autovetor
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{a-\lambda}{2}\end{pmatrix}.
  • Assim a solução geral (caso real e distinto) é
x(t)=C_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{a-\lambda_{1}}{2}\end{pmatrix}e^{\lambda_{1}t} + C_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{a-\lambda_{2}}{2}\end{pmatrix}e^{\lambda_{2}t},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.]

Passo 5

Caso \Delta<0 (isto é, a^{2}<16): autovalores complexos conjugados.
  • Escrevo \lambda=\alpha\pm i\omega com
\alpha=\frac{a}{2},\qquad \omega=\frac{\sqrt{16-a^{2}}}{2}.
  • Para \lambda=\alpha+i\omega o autovetor pode ser tomado com primeira componente 1. Da equação (a-\lambda)v_{1}+2v_{2}=0 obtemos
v_{2}=-\frac{a-\lambda}{2}=-\frac{\alpha-i\omega}{2}=-\frac{\alpha}{2}+i\frac{\omega}{2}.
  • Escrevendo v=p+i q com vetores reais p,q, temos
p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{\alpha}{2}\end{pmatrix},\qquad q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\dfrac{\omega}{2}\end{pmatrix}.
  • As duas soluções reais independentes são as partes real e imaginária de v\,e^{(\alpha+i\omega)t}. Logo a solução geral é
x(t)=e^{\alpha t}\Big\{C_{1}\big(p\cos(\omega t)-q\sin(\omega t)\big) + C_{2}\big(p\sin(\omega t)+q\cos(\omega t)\big)\Big\},
ou explicitamente, com p,q acima:
x(t)=e^{\frac{a}{2}t}\Bigg\{C_{1}\begin{pmatrix}\cos(\omega t)\\[4pt] -\dfrac{a}{2}\cos(\omega t)-\dfrac{\omega}{2}\sin(\omega t) \end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix}\sin(\omega t)\\[4pt] -\dfrac{a}{2}\sin(\omega t)+\dfrac{\omega}{2}\cos(\omega t) \end{pmatrix}\Bigg\},
onde \omega=\dfrac{\sqrt{16-a^{2}}}{2}.]

Passo 6

Caso \Delta=0 (isto é, a^{2}=16, ou a=\pm 4): autovalor duplo \lambda=\dfrac{a}{2}=\pm 2.
  • Aqui pode haver apenas um autovetor. Devemos verificar a multiplicidade geométrica e, se for 1, construir um autovetor generalizado u tal que (A-\lambda I)u=v, onde v é um autovetor.
  • Faço os dois subcasos.

Passo 7

Subcaso a=4. Então \lambda=2 e
A=\begin{pmatrix}4&2\\[4pt]-2&0\end{pmatrix},\quad A-2I=\begin{pmatrix}2&2\\[4pt]-2&-2\end{pmatrix}.
  • Um autovetor v satisfaz 2v_{1}+2v_{2}=0\Rightarrow v_{2}=-v_{1}. Tomo v=(1,-1)^{T}.
  • Procuro u tal que (A-2I)u=v. Escrevendo u=(u_{1},u_{2})^{T} a equação é
2u_{1}+2u_{2}=1,
escolho a solução simples u_{1}=\tfrac{1}{2},\,u_{2}=0.
  • Assim a base de soluções é
e^{2t}v\quad\text{e}\quad e^{2t}\big(tv+u\big).
A solução geral é
x(t)=C_{1}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} + C_{2}e^{2t}\Big(t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix}\Big).]

Passo 8

Subcaso a=-4. Então \lambda=-2 e
A=\begin{pmatrix}-4&2\\[4pt]-2&0\end{pmatrix},\quad A+2I=\begin{pmatrix}-2&2\\[4pt]-2&2\end{pmatrix}.
  • Autovetor v satisfaz -2v_{1}+2v_{2}=0\Rightarrow v_{2}=v_{1}. Tomo v=(1,1)^{T}.
  • Procuro u tal que (A+2I)u=v. A equação -2u_{1}+2u_{2}=1, escolho u=(0,\tfrac{1}{2})^{T} (satisfaz).
  • A solução geral é
x(t)=C_{1}e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} + C_{2}e^{-2t}\Big(t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}\Big).]

Passo 9

Resumo final para o item (a) (já visto passo a passo):
  • Se a^{2}>16: duas soluções exponenciais reais com autovetores dados em Passo 4.
  • Se a^{2}<16: solução oscilatória amortecida dada em Passo 5 com \alpha=\dfrac{a}{2} e \omega=\dfrac{\sqrt{16-a^{2}}}{2}.
  • Se a=\pm 4: caso de autovalor duplo com solução da forma e^{\lambda t}(C_{1}v + C_{2}(t v + u)) explicitada nos Passos 7 e 8.

Passo 10

Agora resolvo o item (b). Escrevo em forma matricial
\frac{d}{dt}x(t)=B\,x(t),\qquad B=\begin{pmatrix}0 & a\\[4pt]-2 & -2\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(B-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & a\\[4pt]-2 & -2-\lambda\end{pmatrix} =\lambda(\lambda+2)+2a=\lambda^{2}+2\lambda+2a.
Os autovalores satisfazem
\lambda^{2}+2\lambda+2a=0,
cuja solução é
\lambda_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-2a}.
Defino o discriminante \Delta'=1-2a. Novamente tenho três situações conforme o sinal de \Delta'.]

Passo 11

Caso \Delta'>0 (ou seja a<\tfrac{1}{2}): autovalores reais distintos \lambda_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-2a}.
  • Para um autovalor \lambda resolvo (B-\lambda I)v=0. A primeira linha dá -\lambda v_{1}+a v_{2}=0, ou seja, se \lambda\neq 0
v_{1}=\frac{a}{\lambda}v_{2}.
Tomando v_{2}=1 obtenho o autovetor
v=\begin{pmatrix}\dfrac{a}{\lambda}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • A solução geral é
x(t)=C_{1}\begin{pmatrix}\dfrac{a}{\lambda_{1}}\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{\lambda_{1}t} + C_{2}\begin{pmatrix}\dfrac{a}{\lambda_{2}}\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{\lambda_{2}t}.
(Se algum \lambda_{i}=0 trata-se do caso a=0 particular, que se reduz a autovalores 0 e -2 e pode ser tratado direto mas a fórmula acima cobre os demais.)]

Passo 12

Caso \Delta'<0 (isto é, a>\tfrac{1}{2}): autovalores complexos -1\pm i\omega com
\omega=\sqrt{2a-1}.
  • Para \lambda=-1+i\omega a equação -\lambda v_{1}+a v_{2}=0 v_{2}=\dfrac{\lambda}{a}v_{1}. Tomo v_{1}=1 e escrevo
\frac{\lambda}{a}=\frac{-1+i\omega}{a}=-\frac{1}{a}+i\frac{\omega}{a}.
  • Escrevo v=p+i q com
p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{1}{a}\end{pmatrix},\qquad q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\dfrac{\omega}{a}\end{pmatrix}.
  • As duas soluções reais independentes são as partes real e imaginária de v e^{(-1+i\omega)t}. Assim a solução geral é
x(t)=e^{-t}\Big\{C_{1}\big(p\cos(\omega t)-q\sin(\omega t)\big) + C_{2}\big(p\sin(\omega t)+q\cos(\omega t)\big)\Big\},
ou explicitamente
x(t)=e^{-t}\Bigg\{C_{1}\begin{pmatrix}\cos\omega t\\[4pt] -\dfrac{1}{a}\cos\omega t-\dfrac{\omega}{a}\sin\omega t \end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix}\sin\omega t\\[4pt] -\dfrac{1}{a}\sin\omega t+\dfrac{\omega}{a}\cos\omega t \end{pmatrix}\Bigg\},
onde \omega=\sqrt{2a-1}.]

Passo 13

Caso \Delta'=0 (isto é a=\tfrac{1}{2}): autovalor duplo \lambda=-1.
  • Verifico a multiplicidade geométrica: resolvendo (B+I)v=0 com B+I=\begin{pmatrix}1&\tfrac{1}{2}\\[4pt]-2&-1\end{pmatrix} v_{2}=-2v_{1}. Então só há um autovetor, por exemplo v=(1,-2)^{T}.
  • Procuro u tal que (B+I)u=v. Uma solução conveniente é u=(0,2)^{T} (verifique substituindo).
  • Assim a solução geral é
x(t)=C_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} + C_{2}e^{-t}\Big(t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix}\Big).]

Resposta

(a) Se a^{2}>16 (autovalores reais distintos \lambda_{1,2}=\dfrac{a\pm\sqrt{a^{2}-16}}{2}):
x(t)=C_{1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{a-\lambda_{1}}{2}\end{pmatrix}e^{\lambda_{1}t} + C_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{a-\lambda_{2}}{2}\end{pmatrix}e^{\lambda_{2}t}.
Se a^{2}<16 (autovalores complexos \alpha\pm i\omega, \alpha=\dfrac{a}{2}, \omega=\dfrac{\sqrt{16-a^{2}}}{2}):
x(t)=e^{\frac{a}{2}t}\Big\{C_{1}\big(p\cos(\omega t)-q\sin(\omega t)\big)+C_{2}\big(p\sin(\omega t)+q\cos(\omega t)\big)\Big\},
com p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{a}{2}\end{pmatrix}, q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\dfrac{\omega}{2}\end{pmatrix}.
Se a=4 (autovalor duplo \lambda=2):
x(t)=C_{1}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}+C_{2}e^{2t}\Big(t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix}\Big).
Se a=-4 (autovalor duplo \lambda=-2):
x(t)=C_{1}e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_{2}e^{-2t}\Big(t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}\Big).
(b) Se 1-2a>0 (autovalores reais distintos \lambda_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-2a}):
x(t)=C_{1}\begin{pmatrix}\dfrac{a}{\lambda_{1}}\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{\lambda_{1}t} + C_{2}\begin{pmatrix}\dfrac{a}{\lambda_{2}}\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{\lambda_{2}t}.
Se 1-2a<0 (autovalores complexos -1\pm i\omega, \omega=\sqrt{2a-1}):
x(t)=e^{-t}\Big\{C_{1}\big(p\cos(\omega t)-q\sin(\omega t)\big)+C_{2}\big(p\sin(\omega t)+q\cos(\omega t)\big)\Big\},
com p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{1}{a}\end{pmatrix}, q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\dfrac{\omega}{a}\end{pmatrix}.
Se a=\tfrac{1}{2} (autovalor duplo \lambda=-1):
x(t)=C_{1}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} + C_{2}e^{-t}\Big(t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix}\Big).]

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