O problema pede a solução geral (ou família de soluções) dos dois sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
Em cada caso a é um parâmetro real fixo (não nos foi dito que seja específico, então a solução deve contemplar o a geral).
Queremos a solução geral x(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t))^{T}, ou seja, a família de soluções com constantes arbitrárias.
Cada sistema é linear e homogêneo com matriz constante; portanto há uma abordagem padrão que permite escrever a solução geral em termos dos autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.]
Passo 2
Vou explicar o método que vou usar (este é o método padrão e mais direto para esses sistemas). Para um sistema linear homogêneo com matriz constante
\frac{d}{dt}x(t)=A\,x(t),
a solução geral pode ser construída a partir dos autovalores \lambda e autovetores v da matriz A:
Se A tem dois autovalores reais e dois autovetores linearmente independentes \,v_{1},v_{2}, então
Se os autovalores são complexos conjugados \alpha\pm i\omega, tomamos a parte real e a parte imaginária da solução complexa para obter duas soluções reais da forma e^{\alpha t}(\text{combinação de }\cos\omega t,\sin\omega t).
Se um autovalor real é duplo e há só um autovetor, precisamos de um autovetor generalizado e a solução tem termos do tipo e^{\lambda t}(v\,t + u).
Vou aplicar esse procedimento a cada sistema, calculando a matriz A, o polinômio característico, os autovalores e depois os autovetores (e autovetor generalizado quando necessário). Vou tratar separadamente os casos: autovalores reais distintos, complexos e caso degenerado (autovalor duplo).
Passo 3
Resolvendo o item (a): escrevendo em forma matricial
Caso \Delta=0 (isto é, a^{2}=16, ou a=\pm 4): autovalor duplo \lambda=\dfrac{a}{2}=\pm 2.
Aqui pode haver apenas um autovetor. Devemos verificar a multiplicidade geométrica e, se for 1, construir um autovetor generalizado u tal que (A-\lambda I)u=v, onde v é um autovetor.
(Se algum \lambda_{i}=0 trata-se do caso a=0 particular, que se reduz a autovalores 0 e -2 e pode ser tratado direto mas a fórmula acima cobre os demais.)]
Passo 12
Caso \Delta'<0 (isto é, a>\tfrac{1}{2}): autovalores complexos -1\pm i\omega com
\omega=\sqrt{2a-1}.
Para \lambda=-1+i\omega a equação -\lambda v_{1}+a v_{2}=0 dá v_{2}=\dfrac{\lambda}{a}v_{1}. Tomo v_{1}=1 e escrevo
x(t)=e^{-t}\Bigg\{C_{1}\begin{pmatrix}\cos\omega t\\[4pt] -\dfrac{1}{a}\cos\omega t-\dfrac{\omega}{a}\sin\omega t \end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix}\sin\omega t\\[4pt] -\dfrac{1}{a}\sin\omega t+\dfrac{\omega}{a}\cos\omega t \end{pmatrix}\Bigg\},
onde \omega=\sqrt{2a-1}.]
Passo 13
Caso \Delta'=0 (isto é a=\tfrac{1}{2}): autovalor duplo \lambda=-1.
Verifico a multiplicidade geométrica: resolvendo (B+I)v=0 com B+I=\begin{pmatrix}1&\tfrac{1}{2}\\[4pt]-2&-1\end{pmatrix} dá v_{2}=-2v_{1}. Então só há um autovetor, por exemplo v=(1,-2)^{T}.
Procuro u tal que (B+I)u=v. Uma solução conveniente é u=(0,2)^{T} (verifique substituindo).
com p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\dfrac{1}{a}\end{pmatrix}, q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\dfrac{\omega}{a}\end{pmatrix}.
Se a=\tfrac{1}{2} (autovalor duplo \lambda=-1):