Ache a solução geral dos sistemas:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O problema pede: “Ache a solução geral” de dois sistemas lineares de equações diferenciais. Ou seja, para cada sistema precisamos encontrar todas as funções
e
que satisfazem o sistema para todo
.
As informações dadas são exatamente os dois sistemas:
(a)
(b)
Nenhuma outra informação externa foi dada; trabalharemos só com esses sistemas. A resolução começa agora.
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (passo-a-passo didático e usado em provas):
-
Podemos escrever cada sistema na forma matricial
, onde e é uma matriz com coeficientes dados pelo sistema. -
A técnica padrão para sistemas lineares com matriz constante é procurar autovalores (eigenvalues)
de e autovetores (eigenvectors) resolvendo
(equação característica) e
.
-
Se a multiplicidade algébrica de um autovalor for
(ou seja, dois autovalores distintos), obtemos duas soluções independentes do tipo e a solução geral é combinação linear. -
Se houver um autovalor de multiplicidade algébrica
(repetido) e a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) for — isto é, há apenas um autovetor — então é não-diagonalizável (matriz de Jordan). Nesse caso precisamos de um autovetor e de um vetor generalizado que satisfaça
As duas soluções independentes são então
Vou aplicar exatamente esse procedimento em cada item e mostrar como obter
,
e a solução geral.
Passo 3
Escrevo o sistema (a) na forma matricial
com
Calculo o polinômio característico
:
Faço a multiplicação e simplificação passo a passo:
Reconheço um quadrado perfeito:
Portanto o autovalor é
com multiplicidade algébrica
.]
Passo 4
Agora encontro o(s) autovetor(es) resolvendo
. Calculo
:
Resolvo o sistema
.
A primeira equação dá . Posso escolher
, então um autovetor é
A primeira equação dá
Note que o segundo equação é redundante (é múltipla da primeira), logo o espaço próprio tem dimensão
(multiplicidade geométrica
). Como temos autovalor repetido mas apenas um autovetor, a matriz não é diagonalizável e precisamos de um vetor generalizado.]
Passo 5
Buscamos um vetor
que satisfaça
. Escrevo
e resolvo:
As equações são
e
(a segunda é a metade da primeira). Resolvendo, por exemplo, escolho
e obtenho
. Assim um vetor
possível é
Com
e
em mãos, as duas soluções independentes são
Logo a solução geral do sistema (a) é
onde
e
são constantes arbitrárias (reais). Posso escrever coordenada a coordenada se preferir:
Passo 6
É útil confirmar por derivação rápida que cada termo tem a forma correta. Se
então
quando
(ou seja,
). Para o segundo,
temos
E
porque
. Usando
é direto verificar que
. Isso confirma que as duas soluções são independentes e formam uma base de soluções.
Passo 7
Agora trato o sistema (b). Escrevo
com
Calculo o polinômio característico
:
Faço o desenvolvimento:
Ou seja,
e o autovalor é
com multiplicidade algébrica
.]
Passo 8
Procuro autovetores resolvendo
(já que
). O sistema é
A primeira equação é
.
Posso escolher e então obter um autovetor simples
Posso escolher
A segunda linha é múltipla da primeira, então o espaço próprio tem dimensão
. Novamente a matriz é não-diagonalizável e preciso de um vetor generalizado.
Observação prática: para evitar frações ao encontrar
posso optar por um autovetor escalado; por exemplo, escolher
também é válido — vou fazer essa escolha porque torna
inteiro e a solução mais limpa.]
Passo 9
Escolho
(multiplicando o autovetor por
). Agora procuro
tal que
. Escrevo
e resolvo
A primeira equação é
, que simplifica para
, ou
. Tomando
obtemos
. Assim posso escolher
Como
, os dois vetores de solução são
Logo a solução geral do sistema (b) é
onde
e
são constantes arbitrárias. Coordenada a coordenada:
Passo 10
Uma verificação rápida: como
,
satisfaz
. Para
temos
e
pois
por construção. Assim
, confirmando que
é solução. As duas soluções são linearmente independentes, dando a solução geral acima.
Resposta
(a)
(b)
]