Isso nos dá uma solução fundamental real e^{4t}v^{(1)}.]
Passo 4
Agora trataremos dos autovalores complexos conjugados
\lambda_{2,3}=a\pm i b,\qquad a=\tfrac12,\quad b=\tfrac{\sqrt{7}}{2}.
Quando um par complexo aparece, encontramos um autovetor complexo v_c para \lambda_2 e, separando partes real e imaginária de v_c, construímos duas soluções reais associadas.
Vamos encontrar um autovetor complexo v_c para \lambda_2=\tfrac{1+i\sqrt{7}}{2}. Resolvendo (A-\lambda_2 I)x=0 (os cálculos algébricos são longos, eu mostro os passos essenciais) obtemos, escolhendo uma escala conveniente (y livre), as relações
Há uma fórmula padrão (muito útil em provas) para obter soluções reais a partir de um autovalor complexo a\pm ib com autovetor v\pm i w:
as duas soluções independentes reais são
X_{2}(t)=e^{at}\bigl(v\cos(bt)-w\sin(bt)\bigr),
X_{3}(t)=e^{at}\bigl(v\sin(bt)+w\cos(bt)\bigr).
Aqui a=\tfrac12 e b=\tfrac{\sqrt{7}}{2}. Substituindo v e w obtemos explicitamente as duas soluções reais:
Explicando rápido: a ideia é que e^{(a+ib)t} (v+iw) gera uma solução complexa; tomar parte real e imaginária dá duas soluções reais independentes com fator exponencial e^{at} e oscilações \cos(bt),\sin(bt).]
Da segunda equação C_1=-4C_2\]. Substituindo nas outras duas equações obtemos
\[35C_2 -\sqrt{7}C_3 =1,\qquad 21C_2 +\sqrt{7}C_3 =1.\]
Somando as duas equações dá \(56C_2=2, daí