Ache a solucao narticular de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. O que precisamos aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. A matéria que estamos usando é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e Método dos Coeficientes a Determinar. Vamos precisar aplicar esse método para achar a solução específica que resolve a equação.
Passo 2
Primeiro, a gente resolve a equação homogênea associada, ou seja,
. Para isso, montamos a equação característica:
. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes
e
. Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte particular da solução. Como o lado direito da equação é
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Aqui,
e
são constantes que a gente vai determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original
:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá um sistema de equações para
e
:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Da segunda equação, temos
Então,
.
Resposta
A solução particular é: