São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(x)=x, f2(x)=x^2, f3(x)=x^(-1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções: , e . A missão aqui é descobrir se essas funções são linearmente independentes ou dependentes no intervalo de todos os números reais usando o Wronskiano. Para isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calcular ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. É uma matriz formada pelas funções e suas derivadas até a ordem que a equação diferencial exige. No nosso caso, como a EDO é de terceira ordem, vamos precisar até a segunda derivada de cada função.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções:
  • Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  • Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  • Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano usando essas funções e suas derivadas:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz:

Resposta

Como o Wronskiano é diferente de zero em todo o intervalo (exceto em , onde as funções não estão definidas), podemos concluir que as funções , e são linearmente independentes nesse intervalo.

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