Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a solução particular de um problema de valor inicial usando uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) separável. O enunciado que temos é:
Então, vamos resolver essa EDO passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro que temos uma EDO separável. A equação dada é:
Podemos isolar
:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando ambos os lados por
:
Pronto! Agora temos a equação separada, com
de um lado e
do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da EDO. Integramos:
A integral à esquerda é direta:
Agora, vamos resolver a integral à direita:
Aqui, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Substituindo:
Passo 5
Agora, juntamos as integrais que resolvemos:
Podemos simplificar absorvendo as constantes
e
em uma única constante
:
Para resolver para
, aplicamos a exponenciação dos dois lados:
Sabendo que
e
é uma constante que podemos chamar de
, temos:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. A condição inicial dada é
. Substituindo:
Sabemos que
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução particular do problema de valor inicial é: