b. Qual deveria ser n para que a soma parcial
sn=sumi=1^n(1 /(raizi+1)) satisfaça sn>1000 ? ç

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar o valor de sn = sumi=1^n (1raizi+1) tal que a soma parcial
seja maior que 1000. Este exercício está relacionado ao estudo de séries e somatórias. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos que envolvem raízes quadradas e usar uma abordagem de aproximação, já que calcular cada termo manualmente até chegar a 1000 seria muito trabalhoso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão da soma parcial:
sn = sumi=1^n (1raizi+1)
Aqui, estamos somando termos da forma para indo de 1 até . Isso é parecido com uma série infinita, mas como queremos uma soma finita que ultrapasse 1000, precisamos encontrar um jeito eficiente de calcular ou estimar esse .

Passo 3

Calcular cada termo individualmente até que a soma supere 1000 não é prático. Então, vamos usar uma aproximação por integrais. A ideia é que, para funções positivas e decrescentes, a soma de uma série pode ser aproximada pela integral da função contínua correspondente.
No nosso caso, a função é sn approx integral1^n+1 1raizx , dx . Vamos aproximar a soma por uma integral:

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
integral 1raizx , dx = 2raizx + C
Agora, aplicando os limites de 1 a integral1^n+1 1raizx , dx = 2raizn+1 - 2raiz1 = 2raizn+1 - 2 :
sn approx 2raizn+1 - 2
Então, temos:

Passo 5

Queremos que essa aproximação seja maior que 1000:
2raizn+1 - 2 > 1000
Vamos resolver para 2raizn+1 > 1002 :
  1. Adicione 2 em ambos os lados:
    raizn+1 > 501
  2. Divida ambos os lados por 2:
    n + 1 > 501^2
  3. Eleve ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
    501^2 = 251001
  4. Calcule n > 251000 :
  5. Subtraia 1 de ambos os lados:

Passo 6

Como precisa ser inteiro e maior que 251000, o menor valor possível para que satisfaz a desigualdade é 251001.

Resposta

Para que a soma parcial , o valor de deve ser 251001.

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