b. Qual deveria ser
para que a soma parcial
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar o valor de
tal que a soma parcial
seja maior que 1000. Este exercício está relacionado ao estudo de séries e somatórias. Para resolver, vamos precisar entender como somar termos que envolvem raízes quadradas e usar uma abordagem de aproximação, já que calcular cada termo manualmente até chegar a 1000 seria muito trabalhoso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão da soma parcial:
Aqui, estamos somando termos da forma
para
indo de 1 até
. Isso é parecido com uma série infinita, mas como queremos uma soma finita que ultrapasse 1000, precisamos encontrar um jeito eficiente de calcular ou estimar esse
.
Passo 3
Calcular cada termo individualmente até que a soma supere 1000 não é prático. Então, vamos usar uma aproximação por integrais. A ideia é que, para funções positivas e decrescentes, a soma de uma série pode ser aproximada pela integral da função contínua correspondente.
No nosso caso, a função é
. Vamos aproximar a soma
por uma integral:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicando os limites de 1 a
:
Então, temos:
Passo 5
Queremos que essa aproximação seja maior que 1000:
Vamos resolver para
:
-
Adicione 2 em ambos os lados:
-
Divida ambos os lados por 2:
-
Eleve ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
-
Calcule
: -
Subtraia 1 de ambos os lados:
Passo 6
Como
precisa ser inteiro e maior que 251000, o menor valor possível para
que satisfaz a desigualdade é 251001.
Resposta
Para que a soma parcial
, o valor de
deve ser 251001.