Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
9 x + 4 y dy/dx = 0

Passo 1

Vamos analisar a equação diferencial dada: . O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente sobre exatidão de equações diferenciais. Precisamos verificar se essa EDO é exata. Se não for, procuraremos um fator integrante para torná-la exata e, por fim, resolveremos a equação para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma EDO exata, que é . Para isso, reorganizamos a equação dada:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x, ou seja:
Calculando as derivadas:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Para encontrar , integramos M em relação a x:
Aqui, é uma função arbitrária de y que ainda precisamos determinar.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a y e igualamos a para encontrar :
Integrando em relação a y:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na função potencial , temos:
A solução geral da EDO é dada por . Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é uma constante real.

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