Escrever a equação no espaço de estados do sistema em tempo contínuo;
Considere: x1=vC1, x2=iL, x3=vC2
Dados: C vC^prime(t)=iC(t), vL(t)=L iL^prime(t)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para escrever a equação no espaço de estados de um sistema em tempo contínuo. Isso faz parte da disciplina de Sistemas Dinâmicos ou Controle de Sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as variáveis de estado e como elas se relacionam através das equações diferenciais fornecidas. As variáveis de estado dadas são $ x_{1} = v_{C_{1}} $, $ x_{2} = i_{L} $, e $ x_{3} = v_{C_{2}} $. Além disso, temos as relações $ C \frac{dv_{C}}{dt} = i_{C} $ e $ v_{L} = L \frac{di_{L}}{dt} $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são as equações diferenciais que descrevem nosso sistema. Sabemos que as variáveis de estado são $ x_{1} $, $ x_{2} $ e $ x_{3} $, então precisamos expressar as derivadas dessas variáveis em termos delas mesmas e possivelmente de uma entrada externa (como uma fonte de tensão ou corrente).

Passo 3

Vamos começar com $ x_{1} = v_{C_{1}} $. A relação dada é $ C \frac{dv_{C}}{dt} = i_{C} $. Isso significa que a derivada de $ v_{C_{1}} $ em relação ao tempo está relacionada à corrente $ i_{C} $. Se assumirmos que $ i_{C} $ pode ser expressa em termos das outras variáveis de estado, podemos escrever uma equação para $ \frac{dx_{1}}{dt} $.

Passo 4

Agora, considerando $ x_{2} = i_{L} $ e a relação $ v_{L} = L \frac{di_{L}}{dt} $, podemos expressar a derivada de $ x_{2} $ (que é $ \frac{di_{L}}{dt} $) em termos da tensão $ v_{L} $. Assim, temos uma expressão para $ \frac{dx_{2}}{dt} $.

Passo 5

Para $ x_{3} = v_{C_{2}} $, precisamos relacionar sua derivada com as outras variáveis. Se tivermos uma equação que conecta $ v_{C_{2}} $ com $ i_{C} $ ou outras variáveis de estado, podemos expressar $ \frac{dx_{3}}{dt} $ em termos de $ x_{1} $, $ x_{2} $ e $ x_{3} $.

Passo 6

Agora, vamos montar as equações no formato de espaço de estados, que geralmente é escrito como:
dxdt = Ax + Bu
Onde $ \mathbf{x} $ é o vetor de estados, $ \mathbf{A} $ é a matriz do sistema e $ \mathbf{B} $ é a matriz de entrada. Precisamos identificar esses componentes com base nas equações que derivamos nos passos anteriores.

Resposta

As equações no espaço de estados do sistema são:

$$
\frac{d}{dt}
ddt x1 x2 x3 = 0 & -1C & 0 1L & 0 & 0 0 & 1C & 0 x1 x2 x3 + 1C 0 0 u(t)

u(t)

+

u(t)
$$
Onde $ u(t) $ é a entrada do sistema.

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