Ache a solução das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais. Dados:
com as condições iniciais
Isso é tudo o que temos: a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e duas condições iniciais em
.
Passo 2
Estratégia geral (sem detalhes técnicos demais): para equações lineares a coeficientes constantes como esta, a solução geral costuma ser a soma de uma solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa. Vou explicar cada parte e como encontrar os coeficientes depois.
Passo 3
Equação homogênea associada: retiramos o termo independente
e consideramos
Para resolver essa equação homogênea procuramos soluções da forma
. Substituindo nessa forma obtemos a equação característica:
Resolvendo a característica:
Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando rápido:
dá o termo constante
, e
dá o outro termo.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Reescrevendo, isso é
O lado direito é uma constante. Uma tentativa natural seria
constante, digamos
. Testando
temos
e
, então o lado esquerdo seria
, e então a equação exigiria
, impossível. Por que isso aconteceu? Porque a função constante faz parte da solução homogênea (temos a raiz
), então um palpite constante é “resonante” com a homogênea e falha. Nesses casos multiplicamos o palpite por
e tentamos um polinômio de grau maior.
Passo 5
Tentar uma solução particular linear do tipo
Calcule as derivadas:
Substituindo na equação
obtemos
O coeficiente
não aparece na equação (ele seria absorvido pelo
da solução homogênea), então podemos escolher
para simplificar. Assim uma solução particular conveniente é
Passo 6
A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
Passo 7
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro,
. Substituindo
em
:
Agora precisamos de
. Derivando
:
Usando
:
Resolva para
:
Então
.
Passo 8
Substituindo
e
em
obtemos a solução particular com as condições iniciais:
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta: