Ache a solução das seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}+20=0, y^{\prime}(0)=0, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial com condições iniciais. Dados:
y'' + 9y' + 20 = 0,
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Isso é tudo o que temos: a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e duas condições iniciais em x=0.

Passo 2

Estratégia geral (sem detalhes técnicos demais): para equações lineares a coeficientes constantes como esta, a solução geral costuma ser a soma de uma solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa. Vou explicar cada parte e como encontrar os coeficientes depois.

Passo 3

Equação homogênea associada: retiramos o termo independente +20 e consideramos
y'' + 9y' = 0.
Para resolver essa equação homogênea procuramos soluções da forma y(x)=e^{rx}. Substituindo nessa forma obtemos a equação característica:
r^2 + 9r = 0.
Resolvendo a característica:
r(r+9)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \text{ ou } r=-9.
Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h(x)=C_1 + C_2 e^{-9x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Explicando rápido: e^{0\cdot x}=1 dá o termo constante C_1, e e^{-9x} dá o outro termo.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) da equação completa
y'' + 9y' + 20 = 0.
Reescrevendo, isso é
y'' + 9y' = -20.
O lado direito é uma constante. Uma tentativa natural seria y_p= constante, digamos K. Testando y_p=K temos y_p'=0 e y_p''=0, então o lado esquerdo seria 0, e então a equação exigiria 0 = -20, impossível. Por que isso aconteceu? Porque a função constante faz parte da solução homogênea (temos a raiz r=0), então um palpite constante é “resonante” com a homogênea e falha. Nesses casos multiplicamos o palpite por x e tentamos um polinômio de grau maior.

Passo 5

Tentar uma solução particular linear do tipo
y_p(x)=ax+b.
Calcule as derivadas:
y_p'(x)=a,\qquad y_p''(x)=0.
Substituindo na equação y''+9y'=-20 obtemos
0 + 9a = -20 \quad\Rightarrow\quad a = -\dfrac{20}{9}.
O coeficiente b não aparece na equação (ele seria absorvido pelo C_1 da solução homogênea), então podemos escolher b=0 para simplificar. Assim uma solução particular conveniente é
y_p(x) = -\dfrac{20}{9}\,x.

Passo 6

A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 e^{-9x} - \dfrac{20}{9}\,x.

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro, y(0)=0. Substituindo x=0 em y(x):
y(0)=C_1 + C_2 - 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = 0.
Agora precisamos de y'(x). Derivando y(x):
y'(x)=0 + C_2(-9)e^{-9x} - \dfrac{20}{9} = -9C_2 e^{-9x} - \dfrac{20}{9}.
Usando y'(0)=0:
y'(0) = -9C_2 - \dfrac{20}{9} = 0 \quad\Rightarrow\quad -9C_2 = \dfrac{20}{9}.
Resolva para C_2:
C_2 = -\dfrac{20}{9}\cdot\dfrac{1}{9} = -\dfrac{20}{81}.
Então C_1 = -C_2 = \dfrac{20}{81}.

Passo 8

Substituindo C_1 e C_2 em y(x) obtemos a solução particular com as condições iniciais:
y(x)=\dfrac{20}{81} - \dfrac{20}{81}e^{-9x} - \dfrac{20}{9}x.
Podemos fatorar \dfrac{20}{81} se quisermos uma forma mais compacta:
y(x)=\dfrac{20}{81}\bigl(1-e^{-9x}\bigr) - \dfrac{20}{9}x.

Resposta

y(x)=\dfrac{20}{81}\bigl(1-e^{-9x}\bigr)-\dfrac{20}{9}\,x

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