Obtenha as transformadas inversas de Laplace de: F(s)=\frac{10(s+2)}{s\left(s^{2}+4 s+5\right)} F(s)=\frac{(s-5)}{s(s+2)^{2}} \mathrm{F}(\mathrm{s})=\frac{s}{s^{2}-1} \mathrm{F}(\mathrm{s})=\frac{1}{(s+3)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede: “Obtenha as transformadas inversas de Laplace” para quatro funções F(s). As quatro funções dadas são:
F_1(s)=\frac{10(s+2)}{s\left(s^{2}+4 s+5\right)},
F_2(s)=\frac{s-5}{s(s+2)^{2}},
F_3(s)=\frac{s}{s^{2}-1},
F_4(s)=\frac{1}{(s+3)^{2}}.
Informações relevantes fornecidas: cada F_i(s) é uma função racional em s. O objetivo é encontrar as funções no domínio do tempo f_i(t) tais que \mathcal{L}\{f_i(t)\}=F_i(s). Não há mais informações externas; vamos achar as inversas usando decomposição em frações parciais, identificação de pares conhecidos da transformada de Laplace e, quando necessário, completar quadrados no denominador.
Passo 2
Breve resumo das ferramentas que vou usar (explicação didática):
Transformadas de funções oscilatórias: \mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} e \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Método prático: para racionais, usamos decomposição em frações parciais; se aparecer (s+a)^{2}+b^{2} no denominador, completamos o quadrado e escrevemos numerador em termos de (s+a) para reconhecer cos e sen.
Vou aplicar essas ferramentas passo a passo em cada F_i(s).
f_1(t)=4-4e^{-2t}\cos t+2e^{-2t}\sin t f_2(t)=-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}e^{-2t}+\dfrac{7}{2}t e^{-2t} f_3(t)=\dfrac{1}{2}e^{t}+\dfrac{1}{2}e^{-t}=\operatorname{cosh} t f_4(t)=t e^{-3t}