Ache a solução das seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+1=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + y' + 1 = 0
e pede para encontrar a solução (ou seja, a família de funções y(x) que satisfazem essa igualdade para todo x). As informações relevantes são:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Temos uma equação diferencial de segunda ordem (porque aparece y'').
  • Os coeficientes da equação são constantes.
  • Não foram dadas condições iniciais, então querem a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos escolher um método: como a equação é linear, de ordem duas, com coeficientes constantes e um termo independente (o número 1), a estratégia padrão é:
  1. Resolver a equação homogênea associada (onde o termo independente é zero) para achar a solução homogênea y_h.
  2. Encontrar uma solução particular y_p da equação completa (que inclui o termo constante).
  3. Usar o princípio da superposição para escrever a solução geral como y = y_h + y_p.
Explicando por que isso funciona, de forma simples: a equação diferencial define um operador linear L[y]=y''+y'. Se L[y_h]=0 e L[y_p]=-1, então L[y_h+y_p]=-1, logo y_h+y_p é solução da equação completa. É a estratégia mais direta aqui.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y''+y'=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} para obter a álgebra:
r^2 + r = 0.
Resolvendo essa equação polinomial:
r(r+1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=-1.
Cada raiz r corresponde à solução exponencial e^{rx}. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-x} = C_1 + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aqui eu explico: C_1 e C_2 aparecem porque a equação é de segunda ordem e, portanto, a família de soluções contém duas constantes independentes.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa. Primeiro escrevemos a equação de forma usual:
y'' + y' = -1.
O segundo membro é uma constante (polinômio de grau 0). O método de coeficientes indeterminados sugere tentar uma solução particular que seja um polinômio de grau igual ao do segundo membro. Então tentamos inicialmente
y_p(x)=A,
onde A é uma constante a determinar. Calculamos as derivadas:
y_p' = 0,\qquad y_p''=0.
Substituindo na equação y''+y'=-1
0 + 0 = -1,
o que é impossível. Portanto a tentativa com polinômio de grau 0 falhou.
Quando a tentativa falha assim, geralmente é porque a forma tentativa coincide com uma solução da homogênea. De fato, constantes estão presentes em y_h (porque r=0 deu e^{0x}=1), então devemos multiplicar por x a tentativa. Assim tentamos um polinômio de grau 1:
y_p(x)=Ax + B.

Passo 5

Calculemos as derivadas para y_p(x)=Ax+B:
y_p' = A,\qquad y_p''=0.
Substituindo em y''+y'=-1 obtemos
0 + A = -1.
Logo
A = -1.
Observe que B não aparece na equação (porque desaparece ao derivar), ou seja, qualquer valor de B satisfaria essa identidade particular — mas esse B seria redundante porque constantes já estão incluídas em y_h. Por conveniência podemos escolher B=0 para a forma particular simples. Assim uma escolha conveniente é
y_p(x) = -x.
(Se quiséssemos, poderíamos manter B e depois absorvê-lo em C_1.)

Passo 6

Agora a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 e^{-x} - x.
Vamos checar rapidinho para ter certeza: calcule y' e y'':
y' = -C_2 e^{-x} - 1,\qquad y'' = C_2 e^{-x}.
Substituindo em y''+y'+1:
y''+y'+1 = C_2 e^{-x} + (-C_2 e^{-x} - 1) + 1 = 0.
Confere — a expressão anula a equação, então a solução está correta.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2 e^{-x} - x

Exercícios relacionados