Ache a solução das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução (ou seja, a família de funções
que satisfazem essa igualdade para todo
). As informações relevantes são:
- A incógnita é a função
. - Temos uma equação diferencial de segunda ordem (porque aparece
). - Os coeficientes da equação são constantes.
- Não foram dadas condições iniciais, então querem a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos escolher um método: como a equação é linear, de ordem duas, com coeficientes constantes e um termo independente (o número
), a estratégia padrão é:
- Resolver a equação homogênea associada (onde o termo independente é zero) para achar a solução homogênea
. - Encontrar uma solução particular
da equação completa (que inclui o termo constante). - Usar o princípio da superposição para escrever a solução geral como
.
Explicando por que isso funciona, de forma simples: a equação diferencial define um operador linear
. Se
e
, então
, logo
é solução da equação completa. É a estratégia mais direta aqui.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos
para obter a álgebra:
Resolvendo essa equação polinomial:
Cada raiz
corresponde à solução exponencial
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui eu explico:
e
aparecem porque a equação é de segunda ordem e, portanto, a família de soluções contém duas constantes independentes.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Primeiro escrevemos a equação de forma usual:
O segundo membro é uma constante (polinômio de grau
). O método de coeficientes indeterminados sugere tentar uma solução particular que seja um polinômio de grau igual ao do segundo membro. Então tentamos inicialmente
onde
é uma constante a determinar. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação
dá
o que é impossível. Portanto a tentativa com polinômio de grau
falhou.
Quando a tentativa falha assim, geralmente é porque a forma tentativa coincide com uma solução da homogênea. De fato, constantes estão presentes em
(porque
deu
), então devemos multiplicar por
a tentativa. Assim tentamos um polinômio de grau
:
Passo 5
Calculemos as derivadas para
:
Substituindo em
obtemos
Logo
Observe que
não aparece na equação (porque desaparece ao derivar), ou seja, qualquer valor de
satisfaria essa identidade particular — mas esse
seria redundante porque constantes já estão incluídas em
. Por conveniência podemos escolher
para a forma particular simples. Assim uma escolha conveniente é
(Se quiséssemos, poderíamos manter
e depois absorvê-lo em
.)
Passo 6
Agora a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Vamos checar rapidinho para ter certeza: calcule
e
:
Substituindo em
:
Confere — a expressão anula a equação, então a solução está correta.