Ache a solução das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Enunciado e dados: temos a equação diferencial com condições iniciais
com
Pergunta: encontrar a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Organizando a equação para a forma padrão de segunda ordem com termo não-homogêneo, passo o termo constante para o lado direito:
Estratégia geral (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação não-homogênea. Ou seja, escreveremos
onde
resolve
e
é uma função qualquer que satisfaz
.
Passo 3
Resolver a equação homogênea. Montamos a equação característica associada:
As raízes são
. Quando as raízes são puramente imaginárias
, a solução homogênea é combinação linear de cosseno e seno com frequência
. Aqui
, então
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Explicação curta do porquê: a forma
leva a soluções oscilatórias
e
quando
.
Passo 4
Escolhendo a solução particular
(método dos coeficientes a determinar). O termo do lado direito é soma de duas funções: uma constante
e
. Podemos procurar
como soma de uma particular para cada parte:
onde
atende ao forçamento constante
e
ao forçamento
.
Raciocínio: para um forçamento constante, tenta-se uma constante; para
tenta-se combinação de
e
, a não ser que haja ressonância (isto é, se frequência 1 fosse solução da homogênea — não é o caso, pois a frequência natural é 2), então a forma padrão funciona.
Passo 5
Particular para o termo constante
. Proponho
, com
constante. Então
e substituindo em
focando só na parte constante:
Resolve-se para
:
Portanto
.
Passo 6
Particular para
. Proponho
com
constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
Agora substituímos em
(considerando apenas a parte referente a
):
Agrupando termos:
Queremos que isto iguale
, ou seja
Comparando coeficientes (igualdade de funções trigonométricas requer igualdade coeficiente a coeficiente):
Logo
Passo 7
Combinação das partes: a solução geral da equação não-homogênea é
Agora aplicamos as condições iniciais para achar
e
.
Calculo de
:
A condição
dá
Agora calculo
. Derivando a expressão geral:
Avalio em
:
A condição
implica
Portanto os valores das constantes são
e
.