Ache a solução das seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+4 y+4=\sin (t), y^{\prime}(0)=0, y(0)=0

Passo 1

Enunciado e dados: temos a equação diferencial com condições iniciais
y'' + 4y + 4 = \sin(t),
com
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Pergunta: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Organizando a equação para a forma padrão de segunda ordem com termo não-homogêneo, passo o termo constante para o lado direito:
y'' + 4y = \sin(t) - 4.
Estratégia geral (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação não-homogênea. Ou seja, escreveremos
y(t)=y_h(t)+y_p(t),
onde y_h resolve y''+4y=0 e y_p é uma função qualquer que satisfaz y''+4y=\sin(t)-4.

Passo 3

Resolver a equação homogênea. Montamos a equação característica associada:
r^2+4=0.
As raízes são r=\pm 2\mathrm{i}. Quando as raízes são puramente imaginárias \pm \omega \mathrm{i}, a solução homogênea é combinação linear de cosseno e seno com frequência \omega. Aqui \omega=2, então
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Explicação curta do porquê: a forma e^{rt} leva a soluções oscilatórias \cos(2t) e \sin(2t) quando r=\pm 2\mathrm{i}.

Passo 4

Escolhendo a solução particular y_p (método dos coeficientes a determinar). O termo do lado direito é soma de duas funções: uma constante -4 e \sin(t). Podemos procurar y_p como soma de uma particular para cada parte:
y_p(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t),
onde y_{p1} atende ao forçamento constante -4 e y_{p2} ao forçamento \sin(t).
Raciocínio: para um forçamento constante, tenta-se uma constante; para \sin(t) tenta-se combinação de \cos(t) e \sin(t), a não ser que haja ressonância (isto é, se frequência 1 fosse solução da homogênea — não é o caso, pois a frequência natural é 2), então a forma padrão funciona.

Passo 5

Particular para o termo constante -4. Proponho y_{p1}(t)=A, com A constante. Então y_{p1}''=0 e substituindo em y''+4y=\sin(t)-4 focando só na parte constante:
0 + 4A = -4.
Resolve-se para A:
4A=-4 \implies A=-1.
Portanto y_{p1}(t)=-1.

Passo 6

Particular para \sin(t). Proponho
y_{p2}(t)=a\cos(t)+b\sin(t),
com a,b constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
y_{p2}'(t)=-a\sin(t)+b\cos(t),
y_{p2}''(t)=-a\cos(t)-b\sin(t).
Agora substituímos em y''+4y (considerando apenas a parte referente a \sin(t)):
y_{p2}''+4y_{p2}=(-a\cos t - b\sin t) + 4(a\cos t + b\sin t).
Agrupando termos:
y_{p2}''+4y_{p2}=( -a+4a)\cos t +(-b+4b)\sin t = 3a\cos t + 3b\sin t.
Queremos que isto iguale \sin t, ou seja
3a\cos t + 3b\sin t = 0\cdot \cos t + 1\cdot \sin t.
Comparando coeficientes (igualdade de funções trigonométricas requer igualdade coeficiente a coeficiente):
3a=0 \implies a=0,
3b=1 \implies b=\tfrac{1}{3}.
Logo
y_{p2}(t)=0\cdot\cos t + \tfrac{1}{3}\sin t = \tfrac{1}{3}\sin t.

Passo 7

Combinação das partes: a solução geral da equação não-homogênea é
y(t)=y_h(t)+y_{p1}(t)+y_{p2}(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t) -1 + \tfrac{1}{3}\sin t.
Agora aplicamos as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
Calculo de y(0):
y(0)=C_1\cos 0 + C_2\sin 0 -1 + \tfrac{1}{3}\sin 0 = C_1 -1.
A condição y(0)=0
C_1 -1 = 0 \implies C_1 = 1.
Agora calculo y'(t). Derivando a expressão geral:
y'(t)= -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + 0 + \tfrac{1}{3}\cos t.
Avalio em t=0:
y'(0)= -2C_1\cdot 0 + 2C_2\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot 1 = 2C_2 + \tfrac{1}{3}.
A condição y'(0)=0 implica
2C_2 + \tfrac{1}{3} = 0 \implies 2C_2 = -\tfrac{1}{3} \implies C_2 = -\tfrac{1}{6}.
Portanto os valores das constantes são C_1=1 e C_2=-\tfrac{1}{6}.

Resposta

y(t)=\cos(2t)-\tfrac{1}{6}\sin(2t)-1+\tfrac{1}{3}\sin(t)

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