Ache todas as soluções e indique a solução particular da equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes:
- Solução geral da equação homogênea (onde o lado direito é zero).
- Solução particular da equação não homogênea.
Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para encontrar a solução dessa equação, precisamos resolver a equação característica. Isso envolve substituir $ y = e^{r t} $ na equação homogênea, resultando em:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
Então, as raízes são $ r = 1 $ e $ r = 2 $.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação não homogênea:
A parte direita é $ (1 + t) e^{3 t} $, que sugere que nossa solução particular terá a forma de um polinômio multiplicado por $ e^{3 t} $.
Passo 6
Assumimos uma solução particular da forma:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 7
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Passo 8
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Substituindo:
Passo 9
Vamos simplificar os termos:
Combine os termos:
Simplificando:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para $ t $:
Para os termos constantes:
Substituindo $ A = \frac{1}{2} $:
Passo 11
Então, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.