Ache todas as soluções e indique a solução particular da equação diferencial:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=(1+t) e^3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
y'' - 3 y' + 2 y = (1 + t) e^3 t
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes:
  1. Solução geral da equação homogênea (onde o lado direito é zero).
  2. Solução particular da equação não homogênea.
Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 3 y' + 2 y = 0
Para encontrar a solução dessa equação, precisamos resolver a equação característica. Isso envolve substituir $ y = e^{r t} $ na equação homogênea, resultando em:
y = e^r t

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
r
Então, as raízes são $ r = 1 $ e $ r = 2 $.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^t + C2 e^2 t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação não homogênea:
y'' - 3 y' + 2 y = (1 + t) e^3 t
A parte direita é $ (1 + t) e^{3 t} $, que sugere que nossa solução particular terá a forma de um polinômio multiplicado por $ e^{3 t} $.

Passo 6

Assumimos uma solução particular da forma:
yp(t) = e^3 t (A t + B)
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 7

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)

Passo 8

Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp
Substituindo:
yp'

Passo 9

Vamos simplificar os termos:
e^3 t (9 A t + 9 B + 6 A) - e^3 t (9 A t + 9 B + 3 A) + e^3 t (2 A t + 2 B) = (1 + t) e^3 t
Combine os termos:
e^3 t [ (9 A t - 9 A t + 2 A t) + (9 B - 9 B + 2 B) + (6 A - 3 A) ] = (1 + t) e^3 t
Simplificando:
e^3 t (2 A t + 2 B + 3 A) = (1 + t) e^3 t

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para $ t $:
t
Para os termos constantes:
2 A = 1 Rightarrow A = 12
Substituindo $ A = \frac{1}{2} $:
2 B + 3 A = 1

Passo 11

Então, a solução particular é:
yp(t) = e^3 t ( 12 t - 14 )

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^2 t + e^3 t ( 12 t - 14 )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^t + C2 e^2 t + e^3 t ( 12 t - 14 )
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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