A temperatura em qualquer ponto (x, y) do plano é dada por T(x, y)=x^2+y^2-x y^2. Qual a temperatura máxima e mínima em uma região R entre as curvas y=0, y=x e x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 no primeiro quadrante?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a temperatura máxima e mínima na região $ R $ do primeiro quadrante, limitada pelas curvas $ y = 0 $, $ y = x $, $ x^2 + y^2 = 1 $ e $ x^2 + y^2 = 4 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de máximos e mínimos de funções de duas variáveis, analisando não só os pontos críticos internos da função $ T(x, y) = x^{2} + y^{2} - x y^{2} $, mas também verificar os valores nas fronteiras da região $ R $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos internos da função $ T(x, y) $. Para isso, calculamos as derivadas parciais de $ T $ em relação a $ x $ e $ y $ e as igualamos a zero.
A derivada parcial de $ T $ em relação a $ x $ é:
T(x, y)
A derivada parcial de $ T $ em relação a $ y $ é:
T
Agora, igualamos ambas a zero:
x
y
Da equação (2), podemos fatorar $ 2y $:
T
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ y = 0 $
  2. $ x = 1 $
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ y = 0 $
Substituindo $ y = 0 $ na equação (1):
x
Portanto, temos o ponto crítico $ (0, 0) $.
Caso 2: $ x = 1 $
Substituindo $ x = 1 $ na equação (1):
partial Tpartial x = 2x - y^2
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos $ y = \sqrt{2} $. Então, temos o ponto crítico $ (1, \sqrt{2}) $.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses pontos críticos estão dentro da região $ R $.
A região $ R $ está limitada por $ x^2 + y^2 = 1 $ e $ x^2 + y^2 = 4 $, além de $ y = 0 $ e $ y = x $.
Ponto $ (0, 0) $:
R
Isso está abaixo de $ x^2 + y^2 = 1 $, então não está dentro de $ R $.
Ponto $ (1, \sqrt{2}) $:
R
Isso está entre $ 1 $ e $ 4 $, então está dentro de $ R $.
Portanto, apenas o ponto $ (1, \sqrt{2}) $ é um ponto crítico interno válido na região $ R $.

Passo 4

Agora, precisamos analisar as fronteiras da região $ R $ para encontrar possíveis valores máximos e mínimos da temperatura $ T(x, y) $.
As fronteiras são:
  1. $ y = 0 $ (eixo $ x $)
  2. $ y = x $
  3. $ x^2 + y^2 = 1 $
  4. $ x^2 + y^2 = 4 $
Vamos examinar cada uma dessas fronteiras:
Fronteira 1: $ y = 0 $
Substituindo $ y = 0 $ na função $ T(x, y) $:
R
Como $ x^2 $ varia de $ 1 $ a $ 2 $ (pois $ x^2 + y^2 $ varia de $ 1 $ a $ 4 $ e $ y = 0 $), temos:
T(x, y)
Fronteira 2: $ y = x $
Substituindo $ y = x $ na função $ T(x, y) $:
y = 0
Agora, sabemos que $ x^2 + y^2 = 2x^2 $, que varia de $ 1 $ a $ 4 $, então $ x $ varia de $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ a $ \sqrt{2} $.
Para encontrar os extremos, derivamos $ T $ em relação a $ x $:
x
Igualamos a zero:
y = x
Como $ \frac{4}{3} $ está no intervalo $ \left[\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}\right] $, calculamos $ T $ nesse ponto:
x^2 + y^2 = 1
Além disso, verificamos os extremos nos limites $ x = \frac{1}{\sqrt{2}} $ e $ x = \sqrt{2} $:
x^2 + y^2 = 4
y = 0
Portanto, na fronteira $ y = x $, o mínimo é aproximadamente $ 0.646 $ e o máximo é $ \frac{32}{27} \approx 1.185 $.
Fronteira 3: $ x^2 + y^2 = 1 $
Aqui, podemos parametrizar usando coordenadas polares: $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $, com $ r = 1 $.
Então:
y = 0
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a $ \theta $ e igualamos a zero. Porém, observando que $ T $ varia entre certos valores, podemos calcular diretamente em pontos relevantes, como $ \theta = 0 $, $ \theta = \frac{\pi}{4} $ e $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
T(x, y)
T(x, 0) = x^2
x^2
Portanto, na fronteira $ x^2 + y^2 = 1 $, o valor de $ T $ varia entre aproximadamente $ 0.823 $ e $ 1 $.
Fronteira 4: $ x^2 + y^2 = 4 $
Novamente, usando coordenadas polares com $ r = 2 $:
1
Analisando em pontos chave:
2
x^2 + y^2
1
Então, na fronteira $ x^2 + y^2 = 4 $, $ T $ varia entre aproximadamente $ 1.172 $ e $ 4 $.

Resposta

Após analisar os pontos críticos internos e as fronteiras da região $ R $, concluímos que a temperatura mínima na região é aproximadamente $ 0.646 $ e a temperatura máxima é $ 4 $. Portanto:
  • Temperatura Mínima: $ \approx 0.646 $
  • Temperatura Máxima: $ 4 $

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