Questio(2,5 pontos); Determine onde a função abaixo é contínua. Em seguida, esboce seu gráfico. Caso haja pontos de descontinuidade, classifique seus tipos.
Passo 1
A questão apresenta a função por partes
f(x)=e^x+1,&x<=0-x^2+x,&01
Precisamos determinar onde ela é contínua, classificar eventuais descontinuidades e em seguida esboçar o gráfico. Vamos usar que funções exponencial, polinomial e logarítmica são contínuas em seus domínios e analisar os limites nos pontos de junção.
Passo 2
Em cada intervalo aberto de definição de cada ramo a função é contínua porque:
e^x+1 é contínua em (-6Infinity,0]
-x^2+x é contínua em (0,1]
ln(x-1) é contínua em (1,infty)
Logo f é contínua em (-6Infinity,0), (0,1) e (1,infty).
Passo 3
Agora verificamos o ponto x=0:
Limite pela esquerda: limxto0^-f(x)=e^0+1=2.
Limite pela direita: limxto0^+f(x)=-(0)^2+0=0.
Valor f(0)=e^0+1=2.
Como os limites laterais são finitos e diferentes, há descontinuidade de salto em x=0.
Passo 4
Em x=1:
Limite pela esquerda: limxto1^-f(x)=-(1)^2+1=0.
Limite pela direita: limxto1^+f(x)=ln(1-1)=ln0^+=-infty.
Valor f(1)=-1^2+1=0.
Como o limite pela direita diverge para -infty, temos descontinuidade de tipo infinito em x=1.
Passo 5
Concluímos que f é contínua em
(-infty,0)cup(0,1)cup(1,infty)
com descontinuidade de salto em x=0 e descontinuidade infinita em x=1.
Passo 6
Esboço do gráfico:
Para x<=0: curva crescente de e^x+1, passando por (0,2).
Para 0: parábola invertida -x^2+x, nula em x=0 e x=1, com máximo 0,25 em x=0,5.
Para x>1: ramo de ln(x-1), que cai para -infty ao se aproximar de 1 e cresce lentamente depois.
Passo 7
No esboço, marcamos em x=0 os pontos (0,2) preenchido e (0,0) aberto (salto), em x=1 marcamos (1,0) preenchido e o logaritmo parte com círculo aberto descendo a (-\infty).
Resposta
A função f é contínua em (-∞,0) ∪ (0,1) ∪ (1,∞). Há descontinuidade de salto em x=0 e descontinuidade infinita em x=1. O gráfico é dado pelos três ramos: exponencial +1 para x≤0, parábola −x²+x em (0,1], e ln(x−1) para x>1.