4^a Questio(2,5 pontos); Determine onde a função abaixo é contínua. Em seguida, esboce seu gráfico. Caso haja pontos de descontinuidade, classifique seus tipos.
f(x)=rrr e^x+1, & se & x <= 0 -x^2+x, & se & 01

Passo 1

A questão apresenta a função por partes
f(x)=e^x+1,&x<=0-x^2+x,&01
Precisamos determinar onde ela é contínua, classificar eventuais descontinuidades e em seguida esboçar o gráfico. Vamos usar que funções exponencial, polinomial e logarítmica são contínuas em seus domínios e analisar os limites nos pontos de junção.

Passo 2

Em cada intervalo aberto de definição de cada ramo a função é contínua porque:
  • e^x+1 é contínua em (-6Infinity,0]
  • -x^2+x é contínua em (0,1]
  • ln(x-1) é contínua em (1,infty)
    Logo f é contínua em (-6Infinity,0), (0,1) e (1,infty).

Passo 3

Agora verificamos o ponto x=0:
  • Limite pela esquerda: limxto0^-f(x)=e^0+1=2.
  • Limite pela direita: limxto0^+f(x)=-(0)^2+0=0.
  • Valor f(0)=e^0+1=2.
    Como os limites laterais são finitos e diferentes, há descontinuidade de salto em x=0.

Passo 4

Em x=1:
  • Limite pela esquerda: limxto1^-f(x)=-(1)^2+1=0.
  • Limite pela direita: limxto1^+f(x)=ln(1-1)=ln0^+=-infty.
  • Valor f(1)=-1^2+1=0.
    Como o limite pela direita diverge para -infty, temos descontinuidade de tipo infinito em x=1.

Passo 5

Concluímos que f é contínua em
(-infty,0)cup(0,1)cup(1,infty)
com descontinuidade de salto em x=0 e descontinuidade infinita em x=1.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Para x<=0: curva crescente de e^x+1, passando por (0,2).
  • Para 0: parábola invertida -x^2+x, nula em x=0 e x=1, com máximo 0,25 em x=0,5.
  • Para x>1: ramo de ln(x-1), que cai para -infty ao se aproximar de 1 e cresce lentamente depois.

Passo 7

No esboço, marcamos em x=0 os pontos (0,2) preenchido e (0,0) aberto (salto), em x=1 marcamos (1,0) preenchido e o logaritmo parte com círculo aberto descendo a (-\infty).

Resposta

A função f é contínua em (-∞,0) ∪ (0,1) ∪ (1,∞). Há descontinuidade de salto em x=0 e descontinuidade infinita em x=1. O gráfico é dado pelos três ramos: exponencial +1 para x≤0, parábola −x²+x em (0,1], e ln(x−1) para x>1.

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