Ache o trabalho realizado pela força \vec{F} dada, sobre uma partícula movendose em C, dados: \vec{F}=2 \vec{i}-5 \vec{j} e C: caminho poligonal de (0,0) a (1,1) a (1,2) a (2,2).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força \vec{F} ao longo do caminho poligonal C. Dados fornecidos:
\vec{F}=2\vec{i}-5\vec{j}
O caminho C é poligonal passando pelos pontos, nessa ordem:
(0,0)\to(1,1)\to(1,2)\to(2,2).
Pergunta: calcular o trabalho da força \vec{F} sobre uma partícula que percorre C.

Passo 2

Conceito que precisamos usar (explicado passo a passo): o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho C é dado pela integral de linha escalar
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Aqui \vec{F}\cdot d\vec{r} é o produto escalar entre a força e o deslocamento infinitesimal d\vec{r}. Se escrevermos d\vec{r}=dx\,\vec{i}+dy\,\vec{j}, então
\vec{F}\cdot d\vec{r}=F_x\,dx+F_y\,dy,
onde F_x e F_y são as componentes de \vec{F}. Produto escalar em coordenadas planas: para \vec{a}=(a_x,a_y) e \vec{b}=(b_x,b_y),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y.
Importante: quando \vec{F} é constante (não depende da posição), a integral de linha simplifica porque \vec{F} sai da integral:
W=\vec{F}\cdot\int_C d\vec{r}=\vec{F}\cdot(\vec{r}_{\text{final}}-\vec{r}_{\text{inicial}}).
Isto significa que, para força constante, o trabalho depende apenas do deslocamento total, e não das curvas intermediárias — ótimo pra prova, menos contas!

Passo 3

Escolha do método: como \vec{F} é constante (tem componentes numéricas fixas), vou usar a propriedade do passo anterior e calcular
W=\vec{F}\cdot(\vec{r}_{\text{final}}-\vec{r}_{\text{inicial}}).
Vou também (para você ver e praticar) confirmar o resultado calculando a integral somando as contribuições dos três segmentos do caminho poligonal — assim você aprende a parametrizar segmentos e a integrar passo a passo.

Passo 4

Cálculo rápido usando deslocamento total.
Ponto inicial: \vec{r}_{\text{inicial}}=(0,0).
Ponto final: \vec{r}_{\text{final}}=(2,2) (peguei isso do enunciado: último ponto do polígono).
Deslocamento total:
\Delta\vec{r}=\vec{r}_{\text{final}}-\vec{r}_{\text{inicial}}=(2,2)-(0,0)=(2,2).
Agora o produto escalar com \vec{F}=(2,-5):
W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}=(2,-5)\cdot(2,2)=2\cdot 2 + (-5)\cdot 2.
Calcule passo a passo:
2\cdot 2 = 4,
(-5)\cdot 2 = -10,
4 + (-10) = -6.
Portanto pelo método do deslocamento total temos W=-6.

Passo 5

Cálculo detalhado por segmentos (confirmação e prática). O caminho C tem três segmentos: C_1:(0,0)\to(1,1), C_2:(1,1)\to(1,2), C_3:(1,2)\to(2,2). Vou parametrizar cada segmento com um parâmetro t\in[0,1] para facilitar.
Segmento C_1: reta de (0,0) a (1,1).
\vec{r}_1(t)=(t,t),\quad 0\le t\le 1.
Então
d\vec{r}_1=(1,1)\,dt.
Produto escalar:
\vec{F}\cdot d\vec{r}_1=(2,-5)\cdot(1,1)\,dt=(2-5)\,dt=-3\,dt.
Integral sobre C_1:
W_1=\int_{0}^{1}-3\,dt = -3\cdot(1-0)=-3.
Segmento C_2: reta de (1,1) a (1,2) (vertical).
\vec{r}_2(t)=(1,\,1+t),\quad 0\le t\le 1.
Então
d\vec{r}_2=(0,1)\,dt.
Produto escalar:
\vec{F}\cdot d\vec{r}_2=(2,-5)\cdot(0,1)\,dt=(-5)\,dt.
Integral sobre C_2:
W_2=\int_{0}^{1}-5\,dt = -5\cdot(1-0)=-5.
Segmento C_3: reta de (1,2) a (2,2) (horizontal).
\vec{r}_3(t)=(1+t,\,2),\quad 0\le t\le 1.
Então
d\vec{r}_3=(1,0)\,dt.
Produto escalar:
\vec{F}\cdot d\vec{r}_3=(2,-5)\cdot(1,0)\,dt=(2)\,dt.
Integral sobre C_3:
W_3=\int_{0}^{1}2\,dt = 2\cdot(1-0)=2.
Somando as contribuições:
W=W_1+W_2+W_3 = (-3)+(-5)+2 = -6.
Resultado coincide com o método do deslocamento total.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o trabalho deu -6. O sinal negativo significa que, no conjunto do deslocamento, a componente da força contrária ao deslocamento foi predominante — não precisa memorizar mais que isso agora, só saiba interpretar: negativo = força faz trabalho negativo (tira energia cinética da partícula ou faz trabalho oposto ao deslocamento). Você já fez os passos essenciais e confirmou por duas maneiras — vai dar certo na prova!

Resposta

-6

Exercícios relacionados