Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Informações dadas e supostas (claras e úteis para resolver):
-
é uma curva fechada que limita uma região do plano; vou chamar essa região de . - O enunciado não especifica orientação de
. Vou assumir a orientação positiva (contra‑horário), que é o padrão em problemas desse tipo. Se a orientação fosse a oposta, o sinal do resultado seria trocado. -
é um parâmetro (número real ou inteiro) tal que (senão a expressão dada faria divisão por zero).
Nada mais foi fornecido; a resposta final terá que ficar expressa em termos de(a região limitada por ).
Passo 2
Vamos transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre
. A ferramenta que faz isso é um resultado que relaciona integrais de linha sobre curvas fechadas com integrais duplas sobre a região interior (é o tipo de enunciado que diz: a integral de
ao redor de
é igual à integral dupla de
sobre
). Para usar isso precisamos que
e
tenham derivadas parciais contínuas em
. Aqui podemos identificar
Essas funções têm derivadas parciais contínuas em qualquer região onde
faça sentido (por exemplo para
inteiro ou
real com
variando em domínio sem singularidades), portanto podemos aplicar a transformação (Green).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias. Vou mostrar passo a passo como derivar:
- Para
: . A regra de derivação de potências dá
Aqui
é o expoente vindo da regra
.
- Para
: . é tratado como constante em relação a , então
Expliquei cada passo: diferenciei em relação a
, mantendo
fixo.
Passo 4
Forme a combinação
que aparece na passagem para integral dupla:
Portanto, pela fórmula que liga integral de linha e integral dupla (aplicando a identidade indicada no Passo 2),
Aqui
é a área elementar em coordenadas cartesianas.
Passo 5
Agora multiplique pelo fator
que aparece no enunciado; isso cancela o fator
dentro da integral dupla:
Explicando em palavras: aplicar a relação linha‑dupla produziu um fator
; o enunciado pede para multiplicar por
, então sobra apenas a integral dupla de
sobre a região
.
Passo 6
Interpretação final e observações úteis para a prova:
- O resultado é uma integral de área
. Em particular, o valor numérico depende de qual é a região limitada por . - Exemplos rápidos (para fixar a ideia):
- Se
for o disco unitário centrado na origem, por simetria quando é ímpar, porque integrando em uma região simétrica em relação ao eixo cancela. Se for par, dá um número positivo que pode ser calculado em coordenadas polares. - Se
for um retângulo , então , que é fácil de calcular na prova sem calculadora quando .
- Se