Calcule:
\frac{1}{k+2} \oint_{c}\left(-x^{k} y d x+x^{k+1} d y\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{1}{k+2}\oint_{c}\big(-x^{k}y\,dx + x^{k+1}\,dy\big).
Informações dadas e supostas (claras e úteis para resolver):
  • c é uma curva fechada que limita uma região do plano; vou chamar essa região de D.
  • O enunciado não especifica orientação de c. Vou assumir a orientação positiva (contra‑horário), que é o padrão em problemas desse tipo. Se a orientação fosse a oposta, o sinal do resultado seria trocado.
  • k é um parâmetro (número real ou inteiro) tal que k+2\neq0 (senão a expressão dada faria divisão por zero).
    Nada mais foi fornecido; a resposta final terá que ficar expressa em termos de D (a região limitada por c).

Passo 2

Vamos transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre D. A ferramenta que faz isso é um resultado que relaciona integrais de linha sobre curvas fechadas com integrais duplas sobre a região interior (é o tipo de enunciado que diz: a integral de P\,dx+Q\,dy ao redor de c é igual à integral dupla de \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y sobre D). Para usar isso precisamos que P(x,y) e Q(x,y) tenham derivadas parciais contínuas em D. Aqui podemos identificar
P(x,y) = -x^{k}y,\qquad Q(x,y)=x^{k+1}.
Essas funções têm derivadas parciais contínuas em qualquer região onde x^{k} faça sentido (por exemplo para k inteiro ou k real com x variando em domínio sem singularidades), portanto podemos aplicar a transformação (Green).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias. Vou mostrar passo a passo como derivar:
  • Para \partial Q/\partial x: Q(x,y)=x^{k+1}. A regra de derivação de potências dá
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}x^{k+1}=(k+1)x^{k}.
Aqui k+1 é o expoente vindo da regra \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Para \partial P/\partial y: P(x,y)=-x^{k}y. x^{k} é tratado como constante em relação a y, então
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-x^{k}y)=-x^{k}.
Expliquei cada passo: diferenciei em relação a y, mantendo x^{k} fixo.

Passo 4

Forme a combinação \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y que aparece na passagem para integral dupla:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(k+1)x^{k}-(-x^{k})=(k+1)x^{k}+x^{k}=(k+2)x^{k}.
Portanto, pela fórmula que liga integral de linha e integral dupla (aplicando a identidade indicada no Passo 2),
\oint_{c}\big(-x^{k}y\,dx + x^{k+1}\,dy\big)=\iint_{D} \big((k+2)x^{k}\big)\,dA.
Aqui dA é a área elementar em coordenadas cartesianas.

Passo 5

Agora multiplique pelo fator \dfrac{1}{k+2} que aparece no enunciado; isso cancela o fator (k+2) dentro da integral dupla:
\frac{1}{k+2}\oint_{c}\big(-x^{k}y\,dx + x^{k+1}\,dy\big) =\frac{1}{k+2}\iint_{D}(k+2)x^{k}\,dA =\iint_{D} x^{k}\,dA.
Explicando em palavras: aplicar a relação linha‑dupla produziu um fator (k+2); o enunciado pede para multiplicar por 1/(k+2), então sobra apenas a integral dupla de x^{k} sobre a região D.

Passo 6

Interpretação final e observações úteis para a prova:
  • O resultado é uma integral de área \iint_{D}x^{k}\,dA. Em particular, o valor numérico depende de qual é a região D limitada por c.
  • Exemplos rápidos (para fixar a ideia):
    • Se D for o disco unitário centrado na origem, por simetria \iint_{D}x^{k}\,dA=0 quando k é ímpar, porque integrando x^{k} em uma região simétrica em relação ao eixo y cancela. Se k for par, dá um número positivo que pode ser calculado em coordenadas polares.
    • Se D for um retângulo [a,b]\times[c,d], então \iint_{D}x^{k}\,dA=\left(\int_{a}^{b}x^{k}dx\right)(d-c), que é fácil de calcular na prova sem calculadora quando k\neq-1.

Resposta

\iint_{D} x^{k}\,dA

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