Ache uma transformação linear
cujo núcleo seja gerado pelo vetor
.
T é sobrejetora? Jutifique.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
cujo núcleo seja
com
. Vamos usar a definição de núcleo e, depois, o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo e Imagem) para verificar a sobrejetividade.
Passo 2
Escolhemos uma aplicação simples que force
e
no núcleo. Definimos
Passo 3
Calculamos
resolvendo
Isso dá
e
, logo
e
. Assim
como desejado.
Passo 4
Pela dimensão do Teorema Núcleo e Imagem temos
então
Como
e
, a imagem de
é todo
. Portanto
é sobrejetora.