Ache uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cujo núcleo seja gerado pelo vetor u=(1,1,0).
T é sobrejetora? Jutifique.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 cujo núcleo seja \ker(T)=\mathrm{Span}\{u\} com u=(1,1,0). Vamos usar a definição de núcleo e, depois, o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo e Imagem) para verificar a sobrejetividade.

Passo 2

Escolhemos uma aplicação simples que force x-y=0 e z=0 no núcleo. Definimos
T(x,y,z) = (\,x - y,\;z\,).

Passo 3

Calculamos \ker(T) resolvendo
(x-y,\,z) = (0,0).
Isso dá x-y=0 e z=0, logo x=y e z=0. Assim
\ker(T) = \{(t,t,0)\mid t\in\mathbb{R}\} = \mathrm{Span}\{(1,1,0)\},
como desejado.

Passo 4

Pela dimensão do Teorema Núcleo e Imagem temos
\dim(\ker(T)) = 1,\quad \dim(\mathbb{R}^3)=3,
então
\operatorname{rank}(T) = 3 - 1 = 2.
Como \dim(\mathbb{R}^2)=2 e \operatorname{rank}(T)=2, a imagem de T é todo \mathbb{R}^2. Portanto T é sobrejetora.

Resposta

T(x,y,z) = (x-y,\,z). Sim, T é sobrejetora.

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