Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear tal que T(1,0)=(1,2,-1) e T(0,1)=(3,0,4).
Calcule \mathrm{T}(5,2) e \mathrm{T}(\mathrm{a}, \mathrm{b}).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 com
T(1,0)=(1,2,-1)\quad\text{e}\quad T(0,1)=(3,0,4).
Pede-se T(5,2) e T(a,b). Vamos usar que toda transformação linear se determina pela ação nos vetores da base canônica e, em seguida, usar a propriedade de linearidade.

Passo 2

Para calcular T(5,2), escrevemos
(5,2)=5\,(1,0)+2\,(0,1).
Pela linearidade,
T(5,2) =5\,T(1,0)+2\,T(0,1) =5\,(1,2,-1)+2\,(3,0,4).
Agora fazemos as somas de coordenadas:
5\,(1,2,-1)=(5,10,-5), \quad 2\,(3,0,4)=(6,0,8),
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T(5,2)=(5+6,\;10+0,\;-5+8)=(11,10,3).

Passo 3

Para T(a,b), observamos que
(a,b)=a\,(1,0)+b\,(0,1),
então
T(a,b) =a\,T(1,0)+b\,T(0,1) =a\,(1,2,-1)+b\,(3,0,4).
Fazendo a combinação linear coordenada a coordenada, obtemos
T(a,b)=(a+3b,\;2a+0b,\;-a+4b)=(a+3b,\;2a,\;4b-a).

Resposta

T(5,2)=(11,10,3) T(a,b)=(a+3b,\;2a,\;4b-a)

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