Considere B=\{u, v, w\} uma base de \mathbb{R}^{3}, onde u=(1,2,3), v=(2,5,3) e w=(1,0,1).
(a) Ache uma fórmula para a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(u)=(1,0), T(v)=(1,0) e \mathrm{T}(\mathrm{w})=(0,1).
(b) Encontre uma base e a dimensão do núcleo de T
(c) Encontre uma base e a dimensão da imagem de T.
(d) T é invertível? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para definir uma transformação linear \displaystyle T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2
sabendo que em relação à base B=\{u,v,w\} com
u=(1,2,3),\quad v=(2,5,3),\quad w=(1,0,1)
temos
T(u)=(1,0),\quad T(v)=(1,0),\quad T(w)=(0,1).
Precisamos (a) achar uma fórmula de T em coordenadas canônicas, (b) sua base e dimensão do núcleo, (c) base e dimensão da imagem e (d) decidir se T é invertível.
Passo 2
Qualquer vetor x\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como
Para ser invertível T precisaria ser bijetora entre espaços de mesma dimensão e ter núcleo trivial. Aqui \dim\dom T=3, \dim\cod T=2 e \ker T\neq\{0\}. Logo Tnão é invertível.