Considere B=\{u, v, w\} uma base de \mathbb{R}^{3}, onde u=(1,2,3), v=(2,5,3) e w=(1,0,1).
(a) Ache uma fórmula para a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(u)=(1,0), T(v)=(1,0) e \mathrm{T}(\mathrm{w})=(0,1).
(b) Encontre uma base e a dimensão do núcleo de T
(c) Encontre uma base e a dimensão da imagem de T.
(d) T é invertível? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para definir uma transformação linear
\displaystyle T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2
sabendo que em relação à base B=\{u,v,w\} com
u=(1,2,3),\quad v=(2,5,3),\quad w=(1,0,1)
temos
T(u)=(1,0),\quad T(v)=(1,0),\quad T(w)=(0,1).
Precisamos (a) achar uma fórmula de T em coordenadas canônicas, (b) sua base e dimensão do núcleo, (c) base e dimensão da imagem e (d) decidir se T é invertível.

Passo 2

Qualquer vetor x\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como
x = a\,u + b\,v + c\,w.
Pela linearidade e pelos valores dados,
T(x) = a\,T(u) + b\,T(v) + c\,T(w) = a\,(1,0) + b\,(1,0) + c\,(0,1) = (\,a+b\,,\,c\,).

Passo 3

Escrevemos em coordenadas canônicas x=(x_1,x_2,x_3) e montamos a matriz P que leva (a,b,c) em x:
P=\bigl[\,u\;v\;w\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 2 & 5 & 0\\\\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix},
de modo que (x_1,x_2,x_3)^T = P\,(a,b,c)^T. Logo
(a,b,c)^T = P^{-1}(x_1,x_2,x_3)^T.

Passo 4

Calculando \det P=-8 e o adjugado, obtém-se
P^{-1}=-\tfrac18 \begin{pmatrix} 5 & 1 & -5\\\\ -2 & -2 & 2\\\\ -9 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Dessa forma, juntando com T(x)=(a+b,c), achamos para x=(x_1,x_2,x_3):
T(x) =\Bigl(a+b,\;c\Bigr) =\Bigl(\tfrac{-3x_1+x_2+3x_3}{8},\;\tfrac{9x_1-3x_2-x_3}{8}\Bigr).

Passo 5

O núcleo é dado por T(x)=(0,0), isto é o sistema
-3x_1 + x_2 +3x_3 = 0,\quad 9x_1 -3x_2 -x_3 = 0.
Da primeira vem x_2=3x_1-3x_3 e substituindo na segunda surge 8x_3=0\Rightarrow x_3=0, x_2=3x_1. Logo
\ker T = \{(x_1,3x_1,0)\mid x_1\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(1,3,0)\},
e \dim(\ker T)=1.

Passo 6

Como \dim\mathbb{R}^3=3 e \dim(\ker T)=1, o teorema da dimensão dá \dim(\operatorname{im}T)=2. Note também que
\operatorname{im}T=\operatorname{span}\{T(u),T(w)\} =\operatorname{span}\{(1,0),(0,1)\}=\mathbb{R}^2.

Passo 7

Para ser invertível T precisaria ser bijetora entre espaços de mesma dimensão e ter núcleo trivial. Aqui \dim\dom T=3, \dim\cod T=2 e \ker T\neq\{0\}. Logo T não é invertível.

Resposta

(a)
T(x_1,x_2,x_3) =\Bigl(\frac{-3x_1+x_2+3x_3}{8},\;\frac{9x_1-3x_2-x_3}{8}\Bigr).
(b)
\ker T=\operatorname{span}\{(1,3,0)\}, \dim(\ker T)=1.
(c)
\operatorname{im}T=\operatorname{span}\{(1,0),(0,1)\}, \dim(\operatorname{im}T)=2.
(d)
T não é invertível, pois não é injetora ( \dim\ker T=1>0) e \dim\dom\neq\dim\cod.

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