Ache a transformada de inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=1s^3+a^3 com a=2 raiz3
( Sugestão: s^3+a^3=(s+a)(s^2-a s+a^2)=(s+2 raiz3)[(s^2-raiz3)^2+3^2])

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=1s^3+a^3 com a=2raiz3. O conteúdo envolve fatoração de polinômios e frações parciais, além de usar as transformadas conhecidas de 1s+a, s-a(s-a)^2+b^2 e b(s-a)^2+b^2.

Passo 2

Fatoramos o denominador usando a soma de cubos:
s^3+a^3=(s+a)(s^2-as+a^2)=(s+2raiz3)l[(s-raiz3)^2+9r]

Passo 3

Escrevemos a fração como soma de parciais:
1(s+2raiz3)l[(s-raiz3)^2+9r]=As+2raiz3+Bs+C(s-raiz3)^2+9

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum e igualamos numeradores:
1=Al[(s-raiz3)^2+9r]+(Bs+C)(s+2raiz3)

Passo 5

Expandindo e comparando coeficientes de s^2, s e constante, obtemos o sistema:
  1. A+B=0
  2. -2raiz3A+2raiz3B+C=0
  3. 12A+2raiz3C=1.

Passo 6

Resolvendo, achamos
A=136, B=-136, C=raiz39

Passo 7

Reescrevemos Bs+C em termos de (s-raiz3):
Bs+C=-tfrac136s+tfracraiz39=-tfrac136(s-raiz3)+tfracraiz312

Passo 8

Assim,
F(s)=1/36s+2raiz3-1/36,(s-raiz3)(s-raiz3)^2+9+tfracraiz312(s-raiz3)^2+9

Passo 9

Aplicando as transformadas inversas conhecidas:
  • L^-1l[tfrac1s+2raiz3r]=e^-2raiz3t.
  • L^-1l[tfracs-raiz3(s-raiz3)^2+9r]=e^raiz3tcos(3t).
  • L^-1l[tfrac3(s-raiz3)^2+9r]=e^raiz3tsin(3t), então tfracraiz3/12(s-raiz3)^2+9 vira tfracraiz336e^raiz3tsin(3t).

Resposta

f(t)=136e^-2raiz3t-136e^raiz3tcos(3t)+raiz336e^raiz3tsin(3t)

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