Ache a transformada de inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=e^-s(s-1)(s-2).

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=e^-s(s-1)(s-2). O conteúdo de teoria principal é o teorema do deslocamento no tempo (fator e^-as em s corresponde a u(t-a)f(t-a) em t) e frações parciais para achar a transformada inversa de 1/((s-1)(s-2)). A gente vai precisar também da tabela básica de L^-11/(s-a)=e^at

Passo 2

Reconheço que F(s)=e^-1cdot sG(s), onde
G(s)=1(s-1)(s-2)
ou seja, pela propriedade de deslocamento em tempo,
L^-1F(s)=u(t-1),g(t-1),onde g(t)=L^-1G(s)

Passo 3

Para achar g(t), faço frações parciais em G(s):
1(s-1)(s-2)=As-1+Bs-2Multiplicando em cruz:
A(s-2)+B(s-1)=1Tomando s=1 A(-1)=1 então A=-1. Tomando s=2 B(1)=1 então B=1. Assim
G(s)=-1s-1+1s-2

Passo 4

Aplico transformada inversa conhecida:
L^-1l(1s-1r)=e^t, L^-1l(1s-2r)=e^2t,logo
g(t)=-e^t+e^2t

Passo 5

Finalmente uso o deslocamento: troco t por t-1 e multiplico por u(t-1).
f(t)=u(t-1)l[-e^,(t-1)+e^2(t-1)r]

Resposta

f(t)=u(t-1)\bigl(e{2(t-1)}-e{t-1}\bigr)

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