Ache a transformada de inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{3 s}{(s+1)^{4}}\,

Passo 1

O enunciado pede a transformada de inversa de Laplace de
F(s)=\frac{3s}{(s+1)^{4}}.
O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace, usando linearidade, decomposição em frações simples e a tabela
\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{(s+a)^{n}}\biggr\} =\frac{t^{\,n-1}e^{-at}}{(n-1)!}.

Passo 2

Para decompor, note que
s=(s+1)-1,
então
F(s) =\frac{3s}{(s+1)^{4}} =\frac{3\bigl((s+1)-1\bigr)}{(s+1)^{4}} =\frac{3}{(s+1)^{3}}-\frac{3}{(s+1)^{4}}.

Passo 3

Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{3}}\Bigr\} =\frac{t^{2}e^{-t}}{2!}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{4}}\Bigr\} =\frac{t^{3}e^{-t}}{3!},
temos
f(t) =3\cdot\frac{t^{2}e^{-t}}{2} -3\cdot\frac{t^{3}e^{-t}}{6} =\frac{3}{2}t^{2}e^{-t}-\frac{1}{2}t^{3}e^{-t}.

Passo 4

Fatorando e^{-t}t^{2}/2, fica
f(t) =\frac{e^{-t}t^{2}}{2}\,\bigl(3-t\bigr).

Resposta

f(t)=\frac{1}{2}\,t^{2}\,(3 - t)\,e^{-t}.

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