Ache a transformada de inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{1}{s(s+1)}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1}{s(s+1)}.
Para isso, vamos usar decomposição em frações parciais e a tabela básica de transformadas inversas, sabendo que
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
\frac{1}{s(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando por s(s+1), obtemos
1=A(s+1)+Bs.

Passo 3

Expandindo o lado direito dá
A(s+1)+Bs=(A+B)\,s + A.
Como isso deve ser igual a 1 para todo s, comparando coeficientes temos
A+B=0, \quad A=1.
Logo A=1 e B=-1, de onde
\frac{1}{s(s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\}=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+1}\Bigr\}=e^{-t}.
Pela linearidade,
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =\;1 \;-\;e^{-t}.

Resposta

A transformada inversa de Laplace é
f(t)=1 - e^{-t}.

Exercícios relacionados