Ache a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
F(s)=\frac{e^{-2 s}}{s^{2}+s-2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{e^{-2s}}{s^{2}+s-2}.
O conteúdo envolvido é a propriedade do deslocamento no tempo (que associa o fator e^{-as} a uma função deslocada e multiplicada pela função de Heaviside) e a técnica de frações parciais para inverter a parte racional.

Passo 2

Primeiro isolamos a parte racional
G(s)=\frac{1}{s^{2}+s-2}
e fatoramos o denominador:
s^{2}+s-2=(s-1)(s+2).
Fazemos frações parciais:
\frac{1}{(s-1)(s+2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando em cruz:
1 = A(s+2) + B(s-1) = (A+B)s + (2A - B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 2A - B = 1, \end{cases}
logo A = \tfrac{1}{3} e B = -\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Com isso,
G(s)=\frac{1}{3}\,\frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\,\frac{1}{s+2}.
Sabendo que
\Laplace^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-1}\Bigr\}=e^{t}, \quad \Laplace^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+2}\Bigr\}=e^{-2t},
segue que
g(t)=\Laplace^{-1}\{G(s)\} =\frac{1}{3}\bigl(e^{t}-e^{-2t}\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade do deslocamento no tempo:
\Laplace^{-1}\{e^{-2s}G(s)\} =g(t-2)\,u(t-2),
onde u é a função de Heaviside. Portanto
f(t) =\Laplace^{-1}\{F(s)\} =\frac{1}{3}\Bigl(e^{(t-2)}-e^{-2(t-2)}\Bigr)\,u(t-2).

Resposta

f(t)=\frac{1}{3}\bigl(e^{t-2}-e^{-2(t-2)}\bigr)\,u(t-2).

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