Ache a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
F(s)=\frac{2(s-1) e^{-2 s}}{s^{2}-2 s+2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{2(s-1)e^{-2s}}{s^2-2s+2}.
O conteúdo principal aqui é:
– reconhecer uma forma padrão de transformada de Laplace ( e^{at}\cos(bt), etc.);
– usar a propriedade do deslocamento no tempo ( e^{-as} corresponde a um atraso de a).

Passo 2

Separemos o fator de atraso no tempo:
F(s)=e^{-2s}\;\underbrace{\frac{2(s-1)}{s^2-2s+2}}_{G(s)}.
Assim definimos
G(s)=\frac{2(s-1)}{s^2-2s+2},
cuja inversa vamos achar primeiro.

Passo 3

Reescrevemos o denominador em forma completada de quadrado:
s^2-2s+2=(s-1)^2+1.
Logo
G(s)=\frac{2(s-1)}{(s-1)^2+1}.

Passo 4

Sabemos que
\mathcal L\{e^{t}\cos t\}(s) =\frac{s-1}{(s-1)^2+1}.
Multiplicando por 2, obtemos
\mathcal L\{2e^{t}\cos t\}(s) =\frac{2(s-1)}{(s-1)^2+1}=G(s).
Portanto
g(t)=\mathcal L^{-1}\{G(s)\}=2e^{t}\cos t.

Passo 5

Pela propriedade do deslocamento no tempo, se \mathcal L\{g(t)\}=G(s) então
\mathcal L\{g(t-2)\,u(t-2)\}(s) =e^{-2s}G(s).
Como F(s)=e^{-2s}G(s), segue que
f(t)=g(t-2)\,u(t-2) =2e^{\,t-2}\cos(t-2)\,u(t-2).

Resposta

f(t)=2e^{\,t-2}\cos(t-2)\,u(t-2).

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