Determine o valor de x na equação abaixo:
\left|\begin{array}{llll} x & 0 & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & 2 \\ 2 & 0 & x & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=16

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x tal que o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1 & x & 1 & 2 \\[6pt] 2 & 0 & x & 3 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
seja igual a 16. Vamos usar propriedades de determinante: matriz triangular por blocos e expansão por cofactores.]

Passo 2

Note que A é triangular por blocos, pois a última linha e a última coluna só têm o elemento não-nulo 2 na posição (4,4). Logo
\det A = \det\bigl(\text{bloco }3\times3\bigr)\;\times\;2.
Chamemos de M o bloco 3\times3 superior esquerdo:
M = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\[4pt] 1 & x & 1 \\[4pt] 2 & 0 & x \end{pmatrix},
então \det A = 2\,\det M.]

Passo 3

Para calcular \det M, expandimos pela primeira linha (onde só o primeiro elemento é não-nulo):
\det M = x \;\det\!\begin{pmatrix}x & 1\\[4pt]0 & x\end{pmatrix} = x\,(x\cdot x - 1\cdot0) = x^3.]

Passo 4

Substituindo em \det A =16, temos
2\,x^3 = 16 \quad\Longrightarrow\quad x^3 = 8 \quad\Longrightarrow\quad x = 2
(adotando a solução real).

Resposta

x = 2

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