Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
e
Passo 1
Então, você quer encontrar o valor médio da função
no intervalo
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do valor médio de uma função em um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o valor médio de uma função
no intervalo
:
Nesse caso, nossa função
é
, e o intervalo é
.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula do valor médio para a nossa função:
Agora, precisamos calcular a integral
.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar
, então
e
. Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Agora, vamos avaliar a expressão de
e
:
Simplificando:
Passo 8
Vamos somar as frações:
Então, a integral
.
Passo 9
Agora, aplicamos a fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio da função
no intervalo
é aproximadamente
.