Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
k(w) = w^2 * raiz(w - 3) e [a, b] = [3, 7]

Passo 1

Então, você quer encontrar o valor médio da função no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do valor médio de uma função em um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o valor médio de uma função no intervalo :
é
Nesse caso, nossa função é , e o intervalo é .

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do valor médio para a nossa função:
é
Agora, precisamos calcular a integral .

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar , então e . Quando , , e quando , . Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos expandir :
Então, a integral fica:
Simplificando os expoentes:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:

Passo 7

Agora, vamos avaliar a expressão de e :
Simplificando:

Passo 8

Vamos somar as frações:
Então, a integral .

Passo 9

Agora, aplicamos a fórmula do valor médio:
é

Resposta

O valor médio da função no intervalo é aproximadamente .

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