Encontre a expressão da derivada seguinte
dd w integral2 w^sen(w) raiz2+t^4 d t

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a derivada de uma integral que depende de dd w integral2 w^sin(w) raiz2+t^4 , dt . O enunciado é:
Aqui, a matéria que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo, mais especificamente uma extensão chamada Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e entender como os limites da integral afetam a derivada.

Passo 2

A Regra de Leibniz diz que se temos uma integral da forma dd w integrala(w)^b(w) f(t) , dt = f(b(w)) cdot b'(w) - f(a(w)) cdot a'(w) , a derivada em relação a é:
Isso significa que a derivada depende dos valores da função integranda nos limites, multiplicados pelas derivadas desses limites.

Passo 3

No nosso caso, a'(w) = dd w (2w) = 2 e b'(w) = dd w (sin(w)) = cos(w) . Vamos calcular as derivadas desses limites em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de Leibniz à nossa integral:
dd w integral2 w^sin(w) raiz2+t^4 , dt = raiz2 + (sin(w))^4 cdot cos(w) - raiz2 + (2w)^4 cdot 2

Resposta

A derivada procurada é:
dd w integral2 w^sin(w) raiz2+t^4 , dt = raiz2 + (sin(w))^4 cdot cos(w) - 2 cdot raiz2 + (2w)^4

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