Ache o valor minimo da função f(x, y)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}-4 sujeita a restrição 3 x+5 y=47

Passo 1

O enunciado pede: "Ache o valor mínimo da função (x-1)^{2}+(y-2)^{2}-4 sujeita à restrição \;3x+5y=47".\n
Informações relevantes fornecidas:
f(x,y)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}-4
\text{sujeito a } 3x+5y=47.
A pergunta é: qual é o menor valor que f(x,y) pode assumir, quando (x,y) satisfaz a restrição linear dada?

Passo 2

Escolha do método: como a restrição é uma equação linear em x,y, a maneira mais simples é resolver a restrição para uma variável e substituir na função, reduzindo o problema a uma única variável (um polinômio quadrático). Isso evita cálculo de multiplicadores de Lagrange e dá contas diretas, fáceis de fazer na prova. Vou, portanto, isolar y em função de x e minimizar a função resultante em x.

Passo 3

Isolando y na restrição \;3x+5y=47:
5y=47-3x
y=\frac{47-3x}{5}.

Passo 4

Substituo \;y=\frac{47-3x}{5} em f(x,y):
f(x)= (x-1)^{2}+\left(\frac{47-3x}{5}-2\right)^{2}-4.
Simplifico o termo dentro do quadrado:
\frac{47-3x}{5}-2=\frac{47-3x-10}{5}=\frac{37-3x}{5}.
Logo
f(x)=(x-1)^{2}+\left(\frac{37-3x}{5}\right)^{2}-4.

Passo 5

Expando e simplifico passo a passo. Primeiro os quadrados:
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1,
(37-3x)^{2}=9x^{2}-222x+1369.
Dividindo por 25 (pois \left(\frac{\cdot}{5}\right)^{2}=\frac{\cdot^{2}}{25}):
\left(\frac{37-3x}{5}\right)^{2}=\frac{9x^{2}-222x+1369}{25}.
Somando tudo e subtraindo 4:
f(x)=x^{2}-2x+1+\frac{9x^{2}-222x+1369}{25}-4.
Coloco tudo sobre denominador comum 25 para facilitar:
f(x)=\frac{25(x^{2}-2x+1)+9x^{2}-222x+1369-100}{25}.
Calculo numeradores:
25(x^{2}-2x+1)=25x^{2}-50x+25,
então
\text{num}=25x^{2}-50x+25+9x^{2}-222x+1369-100.
\text{num}=34x^{2}-272x+1294.
Portanto
f(x)=\frac{34x^{2}-272x+1294}{25}=\frac{34}{25}x^{2}-\frac{272}{25}x+\frac{1294}{25}.

Passo 6

Como f(x) é um quadrático com coeficiente de x^{2} positivo, ele tem um mínimo para
x_{0}=-\frac{b}{2a},
onde, para um quadrático ax^{2}+bx+c, o vértice está em x=-\dfrac{b}{2a}. Aqui a=\dfrac{34}{25} e b=-\dfrac{272}{25}. Então
x_{0}=-\frac{-\dfrac{272}{25}}{2\cdot\dfrac{34}{25}}=\frac{\dfrac{272}{25}}{\dfrac{68}{25}}=\frac{272}{68}=4.
(Observe que as frações em 25 cancelam, por isso ficou simples.)

Passo 7

A partir de x_{0}=4, obtenho y pela restrição:
y=\frac{47-3x}{5}=\frac{47-3\cdot 4}{5}=\frac{47-12}{5}=\frac{35}{5}=7.
Portanto o ponto que minimiza é (x,y)=(4,7).

Passo 8

Calculo o valor mínimo substituindo em f original (forma mais direta e menos sujeita a erro):
f(4,7)=(4-1)^{2}+(7-2)^{2}-4=3^{2}+5^{2}-4=9+25-4=30.
Verificação alternativa: substituir x=4 em f(x)=\dfrac{34}{25}x^{2}-\dfrac{272}{25}x+\dfrac{1294}{25} também dá 30.

Resposta

30

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