Ache o valor minimo da função
sujeita a restrição
Passo 1
O enunciado pede: "Ache o valor mínimo da função
sujeita à restrição
".\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: qual é o menor valor que
pode assumir, quando
satisfaz a restrição linear dada?
Passo 2
Escolha do método: como a restrição é uma equação linear em
, a maneira mais simples é resolver a restrição para uma variável e substituir na função, reduzindo o problema a uma única variável (um polinômio quadrático). Isso evita cálculo de multiplicadores de Lagrange e dá contas diretas, fáceis de fazer na prova. Vou, portanto, isolar
em função de
e minimizar a função resultante em
.
Passo 3
Isolando
na restrição
:
Passo 4
Substituo
em
:
Simplifico o termo dentro do quadrado:
Logo
Passo 5
Expando e simplifico passo a passo. Primeiro os quadrados:
Dividindo por
(pois
):
Somando tudo e subtraindo
:
Coloco tudo sobre denominador comum
para facilitar:
Calculo numeradores:
então
Portanto
Passo 6
Como
é um quadrático com coeficiente de
positivo, ele tem um mínimo para
onde, para um quadrático
, o vértice está em
. Aqui
e
. Então
(Observe que as frações em
cancelam, por isso ficou simples.)
Passo 7
A partir de
, obtenho
pela restrição:
Portanto o ponto que minimiza é
.
Passo 8
Calculo o valor mínimo substituindo em
original (forma mais direta e menos sujeita a erro):
Verificação alternativa: substituir
em
também dá
.
Resposta
30