Encontre os pontos críticos das funções abaixo e classifique cada um deles como māximo relativo, um minimo relativo ou um ponto de sela.
f(x, y)=x^{2}-x y+2 y+x+3

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}-x y+2 y+x+3
e classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.\n
Informações dadas:
f(x,y)=x^{2}-x y+2 y+x+3.
Não há restrições no domínio, logo consideramos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.\n
Perguntas explícitas a responder:
  1. Quais são os pontos críticos (os pontos onde o gradiente é zero)?\n
  2. Para cada ponto crítico, qual é a classificação (máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela)?

Passo 2

Conceito usado (passo-a-passo didático): um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais primeiras se anulam. Vamos calcular as derivadas parciais de f.\n
Derivada parcial em relação a x:\n
\frac{\partial f}{\partial x}=f_{x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-x y+2 y+x+3\bigr).
Calculando termo a termo: \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x, \frac{\partial}{\partial x}(-x y)=-y (porque y é tratado como constante), \frac{\partial}{\partial x}(2y)=0, \frac{\partial}{\partial x}(x)=1, \frac{\partial}{\partial x}(3)=0. Portanto,
f_{x}=2x - y + 1.
Derivada parcial em relação a y:\n
\frac{\partial f}{\partial y}=f_{y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-x y+2 y+x+3\bigr).
Calculando termo a termo: \frac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0, \frac{\partial}{\partial y}(-x y)=-x, \frac{\partial}{\partial y}(2y)=2, \frac{\partial}{\partial y}(x)=0, \frac{\partial}{\partial y}(3)=0. Portanto,
f_{y}=-x + 2.

Passo 3

Agora encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} f_{x}=0\\[4pt] f_{y}=0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 2x - y + 1 = 0\\[4pt] -x + 2 = 0 \end{cases}.
Da segunda equação temos -x+2=0\Rightarrow x=2.\n
Substituindo x=2 na primeira equação:
2\cdot 2 - y + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4 - y + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 5 - y = 0 \quad\Rightarrow\quad y=5.
Logo existe um único ponto crítico: (x,y)=(2,5).]

Passo 4

Para classificar o ponto crítico usamos as segundas derivadas e o teste da matriz Hessiana. Primeiro calculemos as segundas derivadas parciais (essas expressam a curvatura da função em torno do ponto).\n
Segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_{x})=\frac{\partial}{\partial x}(2x-y+1)=2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_{y})=\frac{\partial}{\partial y}(-x+2)=0,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_{x})=\frac{\partial}{\partial y}(2x-y+1)=-1.
A matriz Hessiana H é
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & -1 \\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix},
lembrando que f_{xy}=f_{yx}=-1 (simetria das derivadas mistas quando f é suave).]

Passo 5

Explicação didática do teste de classificação (segunda derivada em 2 variáveis):\n
Definimos o determinante auxiliar
D = f_{xx} f_{yy} - \bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.
O teste diz:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então temos mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então temos máximo relativo.
  • Se D<0 então temos ponto de sela (a forma quadrática é indefinida, isto é, existem direções em que a função sobe e outras em que desce).
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.\n
    Aqui, substituímos os valores obtidos:
D = (2)\cdot(0) - (-1)^{2} = 0 - 1 = -1.
Como D=-1<0, pelo critério acima o ponto crítico é um ponto de sela.

Passo 6

Interpretação prática (para você usar na prova): a forma quadrática de segunda ordem no entorno do ponto crítico (expansão de Taylor até ordem 2) é
Q(h,k)=\tfrac{1}{2}(h,k)\,H\,(h,k)^{T},
mas podemos olhar a forma sem o \tfrac{1}{2}: aqui ela vale
Q(h,k)=2\cdot\tfrac{h^{2}}{2}+2(-1)\cdot\tfrac{h k}{2}+0\cdot\tfrac{k^{2}}{2}=h^{2}-h k.
Escolhendo direções diferentes vemos sinais opostos: se k=0 então Q(h,0)=h^{2}>0 (curvatura positiva), se k=2h então Q(h,2h)=h^{2}-2h^{2}=-h^{2}<0 (curvatura negativa). Ou seja, há direções com concavidade para cima e outras para baixo — típica característica de ponto de sela. Isso confirma a conclusão do teste com D<0.\n
Pequeno incentivo: você já dominou o procedimento! Derivadas -> resolver o sistema -> Hessiana -> usar D. Dá para repetir isso com qualquer função de duas variáveis.

Resposta

Ponto crítico: (2,5) — ponto de sela.

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