Encontre os pontos críticos das funções abaixo e classifique cada um deles como māximo relativo, um minimo relativo ou um ponto de sela.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Não há restrições no domínio, logo consideramos
.\n
Perguntas explícitas a responder:
Perguntas explícitas a responder:
- Quais são os pontos críticos (os pontos onde o gradiente é zero)?\n
- Para cada ponto crítico, qual é a classificação (máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela)?
Passo 2
Conceito usado (passo-a-passo didático): um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais primeiras se anulam. Vamos calcular as derivadas parciais de
.\n
Derivada parcial em relação a :\n
Derivada parcial em relação a
Calculando termo a termo:
,
(porque
é tratado como constante),
,
,
. Portanto,
Derivada parcial em relação a
:\n
Calculando termo a termo:
,
,
,
,
. Portanto,
Passo 3
Agora encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema
Da segunda equação temos
.\n
Substituindo na primeira equação:
Substituindo
Logo existe um único ponto crítico:
.]
Passo 4
Para classificar o ponto crítico usamos as segundas derivadas e o teste da matriz Hessiana. Primeiro calculemos as segundas derivadas parciais (essas expressam a curvatura da função em torno do ponto).\n
Segundas derivadas:
Segundas derivadas:
A matriz Hessiana
é
lembrando que
(simetria das derivadas mistas quando
é suave).]
Passo 5
Explicação didática do teste de classificação (segunda derivada em 2 variáveis):\n
Definimos o determinante auxiliar
Definimos o determinante auxiliar
O teste diz:
- Se
e então temos mínimo relativo. - Se
e então temos máximo relativo. - Se
então temos ponto de sela (a forma quadrática é indefinida, isto é, existem direções em que a função sobe e outras em que desce). - Se
o teste é inconclusivo.\n
Aqui, substituímos os valores obtidos:
Como
, pelo critério acima o ponto crítico é um ponto de sela.
Passo 6
Interpretação prática (para você usar na prova): a forma quadrática de segunda ordem no entorno do ponto crítico (expansão de Taylor até ordem 2) é
mas podemos olhar a forma sem o
: aqui ela vale
Escolhendo direções diferentes vemos sinais opostos: se
então
(curvatura positiva), se
então
(curvatura negativa). Ou seja, há direções com concavidade para cima e outras para baixo — típica característica de ponto de sela. Isso confirma a conclusão do teste com
.\n
Pequeno incentivo: você já dominou o procedimento! Derivadas -> resolver o sistema -> Hessiana -> usar . Dá para repetir isso com qualquer função de duas variáveis.
Pequeno incentivo: você já dominou o procedimento! Derivadas -> resolver o sistema -> Hessiana -> usar
Resposta
Ponto crítico:
— ponto de sela.