Utilize os métodos dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximos e minimos da função
com restrição
Passo 1
O enunciado dá a função
e a restrição
.
O que é pedido: encontrar os pontos sobre a circunferência onde
atinge valor máximo e mínimo, e informar esses valores de
.
O que é pedido: encontrar os pontos sobre a circunferência
Informações relevantes dadas:
.
A restrição é (ou seja, o ponto
está na circunferência de raio
).
A restrição é
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): usamos multiplicadores de Lagrange para achar extremos de
sob a restrição
. A condição básica é que, no ponto extremo sujeito à restrição, o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
; isso se escreve como
onde
é o multiplicador de Lagrange. Além disso devemos satisfazer a própria restrição
. Como a curva de restrição é compacta (uma circunferência) e
é contínua, existe pelo menos um máximo e um mínimo; o método localiza os candidatos resolvendo o sistema acima e depois comparamos os valores de
.
Passo 3
Definimos a função de restrição em forma de igualdade:
Calculamos as derivadas parciais (os componentes dos gradientes).
Derivadas parciais de
:
Explicação rápida:
;
e
.
Derivadas parciais de
:
Passo 4
Escrevemos o sistema
junto com a restrição:
Vou simplificar as duas primeiras equações dividindo por
quando conveniente:
A partir daqui resolvemos casos conforme apareçam fatores que possam ser zero (por exemplo
trata-se separadamente).
Passo 5
Caso A: suponha
.
Se , da equação
podemos dividir por
e obter
Se
Usando
na equação
temos
Substituindo na restrição
com
:
Logo, do caso
obtemos dois pontos candidatos:
Passo 6
Calculamos
nesses dois pontos (valores idênticos porque dependem de
):
Para :
Para
Para
:
Portanto, nesses dois pontos
.
Passo 7
Caso B: suponha
.
Da restrição com
obtemos
Da restrição
Verificamos a segunda equação do sistema para consistência (não precisamos necessariamente do
para decidir os pontos, mas mostra que são soluções possíveis):
A equação
pode ser reescrita como
. Para
temos
que dá um
específico; para
obtemos outro
. Assim os pontos candidatos do caso
são:
Passo 8
Calculamos
nesses pontos (aqui mantenho forma exata):
Para :
Para
Para
:
Observação numérica rápida para intuição:
e
.
Passo 9
Comparação dos valores obtidos:
O maior valor é
(em
e
).
O menor valor é (em
).
O menor valor é
Conclusão: os pontos
e
fornecem o máximo de
na circunferência e o ponto
fornece o mínimo.
Resposta
Máximos:
e
.\nMínimo:
.