Utilize os métodos dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximos e minimos da função f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}+2 y com restrição x^{2}+y^{2}=5

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=2x^{2}+y^{2}+2y\; e a restrição \;x^{2}+y^{2}=5\;.
O que é pedido: encontrar os pontos sobre a circunferência \;x^{2}+y^{2}=5\; onde f atinge valor máximo e mínimo, e informar esses valores de f.
Informações relevantes dadas:
\;f(x,y)=2x^{2}+y^{2}+2y\;.
A restrição é \;x^{2}+y^{2}=5\; (ou seja, o ponto (x,y) está na circunferência de raio \sqrt{5}).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): usamos multiplicadores de Lagrange para achar extremos de f sob a restrição g(x,y)=0. A condição básica é que, no ponto extremo sujeito à restrição, o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g; isso se escreve como
\boldsymbol{\nabla} f(x,y)=\lambda\,\boldsymbol{\nabla} g(x,y),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. Além disso devemos satisfazer a própria restrição g(x,y)=0. Como a curva de restrição é compacta (uma circunferência) e f é contínua, existe pelo menos um máximo e um mínimo; o método localiza os candidatos resolvendo o sistema acima e depois comparamos os valores de f.

Passo 3

Definimos a função de restrição em forma de igualdade:
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-5.
Calculamos as derivadas parciais (os componentes dos gradientes).
Derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y+2.
Explicação rápida: \partial/\partial x(2x^2)=4x; \partial/\partial y(y^2)=2y e \partial/\partial y(2y)=2.
Derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y.

Passo 4

Escrevemos o sistema \boldsymbol{\nabla} f=\lambda\boldsymbol{\nabla} g junto com a restrição:
4x = \lambda\cdot 2x,
2y+2 = \lambda\cdot 2y,
x^{2}+y^{2}=5.
Vou simplificar as duas primeiras equações dividindo por 2 quando conveniente:
2x = \lambda x,\qquad y+1 = \lambda y.
A partir daqui resolvemos casos conforme apareçam fatores que possam ser zero (por exemplo x=0 trata-se separadamente).

Passo 5

Caso A: suponha \;x\neq 0.
Se \;x\neq 0, da equação \;2x=\lambda x\; podemos dividir por x e obter
2=\lambda.
Usando \lambda=2 na equação \;y+1=\lambda y\; temos
y+1=2y \quad\Rightarrow\quad 1=y.
Substituindo na restrição \;x^{2}+y^{2}=5\; com y=1:
x^{2}+1=5 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Logo, do caso x\neq 0 obtemos dois pontos candidatos:
(2,1)\quad\text{e}\quad(-2,1).

Passo 6

Calculamos f nesses dois pontos (valores idênticos porque dependem de x^{2}):
Para (2,1):
f(2,1)=2\cdot(2)^{2}+(1)^{2}+2\cdot 1=2\cdot 4+1+2=8+1+2=11.
Para (-2,1):
f(-2,1)=2\cdot(-2)^{2}+1^{2}+2\cdot 1=8+1+2=11.
Portanto, nesses dois pontos f=11.

Passo 7

Caso B: suponha \;x=0.
Da restrição x^{2}+y^{2}=5 com x=0 obtemos
y^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad y=\pm \sqrt{5}.
Verificamos a segunda equação do sistema para consistência (não precisamos necessariamente do \lambda para decidir os pontos, mas mostra que são soluções possíveis):
A equação \;y+1=\lambda y\; pode ser reescrita como (1-\lambda)y=-1. Para y=\sqrt{5} temos (1-\lambda)\sqrt{5}=-1 que dá um \lambda específico; para y=-\sqrt{5} obtemos outro \lambda. Assim os pontos candidatos do caso x=0 são:
(0,\sqrt{5})\quad\text{e}\quad(0,-\sqrt{5}).

Passo 8

Calculamos f nesses pontos (aqui mantenho forma exata):
Para (0,\sqrt{5}):
f(0,\sqrt{5})=2\cdot 0^{2}+(\sqrt{5})^{2}+2\sqrt{5}=5+2\sqrt{5}.
Para (0,-\sqrt{5}):
f(0,-\sqrt{5})=2\cdot 0^{2}+(-\sqrt{5})^{2}+2(-\sqrt{5})=5-2\sqrt{5}.
Observação numérica rápida para intuição: 5+2\sqrt{5}\approx 9{,}472 e 5-2\sqrt{5}\approx 0{,}528.

Passo 9

Comparação dos valores obtidos:
f(2,1)=11,\quad f(-2,1)=11,\quad f(0,\sqrt{5})=5+2\sqrt{5}\approx 9{,}472,\quad f(0,-\sqrt{5})=5-2\sqrt{5}\approx 0{,}528.
O maior valor é \;11\; (em (2,1) e (-2,1)).
O menor valor é \;5-2\sqrt{5}\; (em (0,-\sqrt{5})).
Conclusão: os pontos (2,1) e (-2,1) fornecem o máximo de f na circunferência e o ponto (0,-\sqrt{5}) fornece o mínimo.

Resposta

Máximos: \;f(2,1)=11 e \;f(-2,1)=11.\nMínimo: \;f(0,-\sqrt{5})=5-2\sqrt{5}.

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