3 Ache o valor de x que maximiza f(x) no Problema 2 utilizando a busca da razão áurea. Use como aproximações iniciais x_{l}=0 e x_{u}=2 e faça três iterações.

Passo 1

O enunciado pede: “Ache o valor de x que maximiza f(x) no Problema 2 utilizando a busca da razão áurea. Use como aproximações iniciais x_{l}=0 e x_{u}=2 e faça três iterações.”\n
Informações fornecidas no enunciado que você me mandou:
  • Método exigido: busca da razão áurea (golden-section search).
  • Intervalo inicial: [x_{l},x_{u}]=[0,2].
  • Número de iterações: 3.\n
    Informação que falta e impede obter o valor numérico final:
  • A função f(x) (do “Problema 2”) não foi fornecida. Sem conhecer f(x) não há como avaliar f nos pontos internos e, portanto, não é possível decidir qual subintervalo manter em cada iteração. Não posso inventar f(x) — preciso informar que, com o enunciado que você me deu, não é possível calcular a resposta numérica final.

Passo 2

Breve aula sobre a busca da razão áurea (modo prático para maximização), com fórmulas e raciocínio:
  • Definimos a razão áurea \varphi por
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}61803398875.
  • Em cada iteração, dados os extremos a e b do intervalo atual, colocamos dois pontos internos c e d de modo a aproveitar a propriedade da razão áurea. Usamos as fórmulas (forma comum):
c = b - \frac{b-a}{\varphi},\qquad d = a + \frac{b-a}{\varphi}.
  • Interpretação: \dfrac{b-a}{\varphi} é aproximadamente 0{,}618\,(b-a). Assim c fica perto de a (a 0{,}382(b-a) de a) e d fica perto de b (a 0{,}618(b-a) de a).
  • Regra para maximização: avaliamos f\text{(c)} e f(d).
    • Se f\text{(c)}>f(d), o máximo está no intervalo [a,d] → atualizamos b\leftarrow d.
    • Se f\text{(c)}\le f(d), o máximo está no intervalo [c,b] → atualizamos a\leftarrow c.
  • Economia de avaliações: quando atualizamos o intervalo, um dos pontos c ou d passa a ser um dos pontos internos do próximo passo — não precisamos recalcular ambos do zero; por isso o método é eficiente.
  • Objetivo após cada iteração: reduzir o comprimento do intervalo onde o máximo pode estar. Após n iterações o comprimento do intervalo é aproximadamente (1/\varphi)^n vezes o comprimento inicial.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao intervalo inicial [a,b]=[0,2] para a iteração 1 (cálculos numéricos detalhados):
  • Calcule \varphi:
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}61803398875.
  • Calcule \dfrac{b-a}{\varphi}=\dfrac{2-0}{\varphi}=\dfrac{2}{\varphi}\approx 1{,}2360679775.
  • Então
c = b - \frac{b-a}{\varphi} = 2 - 1{,}2360679775 \approx 0{,}7639320225,
d = a + \frac{b-a}{\varphi} = 0 + 1{,}2360679775 \approx 1{,}2360679775.
  • Para prosseguir na iteração 1 você deve avaliar f(0{,}7639320225) e f(1{,}2360679775) e comparar:
    • Se f(0{,}7639320225) > f(1{,}2360679775), novo intervalo será [0,\,1{,}2360679775].
    • Se f(0{,}7639320225) \le f(1{,}2360679775), novo intervalo será [0{,}7639320225,\,2].
  • Observação importante: como a função f não foi dada, eu não consigo dizer qual dos dois casos ocorre. Abaixo eu mostro as contas que fariam as próximas iterações em ambos os casos, para você simplesmente comparar os valores de f e seguir.

Passo 4

Caso A (resultado da iteração 1: f\text{(c)}>f(d)) → intervalo após iteração 1: [a,b]=[0,\,1{,}2360679775].\n
Agora iteração 2 nesta situação:
  • b-a = 1{,}2360679775.
  • \dfrac{b-a}{\varphi} \approx \dfrac{1{,}2360679775}{1{,}61803398875} \approx 0{,}7639320225.
  • Pontos internos:
c_2 = b - \frac{b-a}{\varphi} = 1{,}2360679775 - 0{,}7639320225 \approx 0{,}4721359550,
d_2 = a + \frac{b-a}{\varphi} = 0 + 0{,}7639320225 \approx 0{,}7639320225.
  • Note que d_2 é exatamente o c da iteração anterior — é a economia do método.
  • Para continuar, compare f(0{,}4721359550) e f(0{,}7639320225):
    • Se f(0{,}4721359550)>f(0{,}7639320225) então o intervalo após iteração 2 será [0,\,0{,}7639320225].
    • Caso contrário o intervalo será [0{,}4721359550,\,1{,}2360679775].
  • Novamente, sem f não dá para decidir.

Passo 5

Continuando o Caso A para a iteração 3, apresento os dois subcasos (1) e (2):
Caso A.1 (iteração 2 escolheu [0,\,0{,}7639320225]):
  • a=0,\; b=0{,}7639320225,\; b-a=0{,}7639320225.
  • \dfrac{b-a}{\varphi}\approx 0{,}4721359550.
  • Pontos na iteração 3:
c_3 = b - \frac{b-a}{\varphi} = 0{,}7639320225 - 0{,}4721359550 \approx 0{,}2917960675,
d_3 = a + \frac{b-a}{\varphi} = 0 + 0{,}4721359550 \approx 0{,}4721359550.
Após avaliar f(c_3) e f(d_3), você atualiza conforme a regra de maximização; o intervalo final (após 3 iterações) será ou [0,\,0{,}4721359550] ou [0{,}2917960675,\,0{,}7639320225], dependendo da comparação.
Caso A.2 (iteração 2 escolheu [0{,}4721359550,\,1{,}2360679775]):
  • a=0{,}4721359550,\; b=1{,}2360679775,\; b-a=0{,}7639320225.
  • \dfrac{b-a}{\varphi}\approx 0{,}4721359550.
  • Pontos na iteração 3:
c_3 = b - \frac{b-a}{\varphi} = 1{,}2360679775 - 0{,}4721359550 \approx 0{,}7639320225,
d_3 = a + \frac{b-a}{\varphi} = 0{,}4721359550 + 0{,}4721359550 \approx 0{,}94427191.
Após avaliar f nesses pontos, o intervalo final (após 3 iterações) será ou [0{,}4721359550,\,0{,}94427191] ou [0{,}7639320225,\,1{,}2360679775], dependendo da comparação.

Passo 6

Caso B (resultado da iteração 1: f\text{(c)}\le f(d)) → intervalo após iteração 1: [a,b]=[0{,}7639320225,\,2].\n
Agora iteração 2 nesta situação:
  • b-a = 1{,}2360679775.
  • \dfrac{b-a}{\varphi}\approx 0{,}7639320225.
  • Pontos internos:
c_2 = b - \frac{b-a}{\varphi} = 2 - 0{,}7639320225 \approx 1{,}2360679775,
d_2 = a + \frac{b-a}{\varphi} = 0{,}7639320225 + 0{,}7639320225 \approx 1{,}527864045.
  • Para continuar, compare f(1{,}2360679775) e f(1{,}527864045):
    • Se f(1{,}2360679775)>f(1{,}527864045) então o intervalo após iteração 2 será [0{,}7639320225,\,1{,}527864045].
    • Caso contrário será [1{,}2360679775,\,2].

Passo 7

Continuando o Caso B para a iteração 3, apresento os dois subcasos (1) e (2):
Caso B.1 (iteração 2 escolheu [0{,}7639320225,\,1{,}527864045]):
  • a=0{,}7639320225,\; b=1{,}527864045,\; b-a=0{,}7639320225.
  • \dfrac{b-a}{\varphi}\approx 0{,}4721359550.
  • Pontos na iteração 3:
c_3 = b - \frac{b-a}{\varphi} = 1{,}527864045 - 0{,}4721359550 \approx 1{,}05572809,
d_3 = a + \frac{b-a}{\varphi} = 0{,}7639320225 + 0{,}4721359550 \approx 1{,}2360679775.
Após avaliar f nesses pontos, o intervalo final (após 3 iterações) será ou [0{,}7639320225,\,1{,}2360679775] ou [1{,}05572809,\,1{,}527864045].
Caso B.2 (iteração 2 escolheu [1{,}2360679775,\,2]):
  • a=1{,}2360679775,\; b=2,\; b-a=0{,}7639320225.
  • \dfrac{b-a}{\varphi}\approx 0{,}4721359550.
  • Pontos na iteração 3:
c_3 = b - \frac{b-a}{\varphi} = 2 - 0{,}4721359550 \approx 1{,}527864045,
d_3 = a + \frac{b-a}{\varphi} = 1{,}2360679775 + 0{,}4721359550 \approx 1{,}7082039325.
Após avaliar f nesses pontos, o intervalo final (após 3 iterações) será ou [1{,}2360679775,\,1{,}7082039325] ou [1{,}527864045,\,2].

Passo 8

Resumo prático do que você deve fazer (passo a passo na hora da prova, já com os números prontos):
  1. Iteração 1: calcule c\approx 0{,}7639320225 e d\approx 1{,}2360679775. Avalie f\text{(c)} e f(d). Atualize o intervalo conforme a regra do passo 2.
  2. Iteração 2: usando o intervalo atualizado, calcule os pontos internos conforme as fórmulas mostradas (os valores numéricos para cada possível intervalo já estão calculados acima). Avalie f nos pontos indicados e atualize o intervalo.
  3. Iteração 3: repita o mesmo procedimento. Ao final da terceira atualização você terá um intervalo cujo comprimento é aproximadamente
(b-a)\left(\frac{1}{\varphi}\right)^3 \approx 2\cdot(0{,}618034)^3 \approx 0{,}4721359550,
ou seja, o máximo está contido em um intervalo de comprimento aproximadamente 0{,}4721359550. Se quiser uma estimativa pontual do máximo após 3 iterações você pode tomar o ponto médio do intervalo final (ou o ponto interno que teve maior valor de f nas avaliações), mas tudo isso depende das comparações concretas de f que só você (ou eu, se você me der f) pode fazer.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o valor de x que maximiza f(x) porque a função f(x) do Problema 2 não foi fornecida.

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