Encontre a aproximação linear da função
no ponto (
).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a aproximação linear da função
no ponto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos aproximar é
. - A tarefa é construir a reta (plano afim) que aproxima
perto de .
Passo 2
Vamos escrever a fórmula da aproximação linear (linearização) de uma função de duas variáveis. Se
é diferenciável em
, a aproximação linear
é:
Explicando cada termo:
-
é o valor da função no ponto onde aproximamos. -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; mede a taxa de variação de quando só muda, perto de . -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; mede a taxa de variação de quando só muda, perto de . - As quantidades
e são os pequenos deslocamentos a partir do ponto.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
. Use a regra da cadeia: se
então
e
. Aqui
.
Calcule e
:
Calcule
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter
e
:
Interpretação rápida: a presença do fator
faz com que as derivadas sejam proporcionais ao próprio valor da função; os fatores
e
ajustam a sensibilidade nas direções
e
.
Passo 5
Avaliamo-las no ponto
. Primeiro calcule o expoente:
Portanto
. Agora as derivadas:
Resumo numérico (em termos de
):
,
,
.
Passo 6
Substituímos esses valores na fórmula da linearização:
Lembre que
. Podemos fatorar
para simplificar:
Expandindo dentro do parêntese:
Logo uma forma ainda mais simples é
Passo 7
Interpretação final e uso prático: para pontos
próximos de
,
fornece uma boa aproximação de
. Por exemplo, para um deslocamento pequeno como
você calcula
em vez de avaliar
exatamente — geralmente muito mais simples no papel (ainda que aqui o fator
seja grande, a forma linear mostra como pequenas variações em
e
alteram
).