Encontre a aproximação linear da função
z=e^{x^{2}-y^{2}} no ponto ( 4,-1 ).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a aproximação linear da função z=e^{x^{2}-y^{2}} no ponto (4,-1).
Informações dadas:
  • A função é z=f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}.
  • O ponto onde queremos aproximar é (a,b)=(4,-1).
  • A tarefa é construir a reta (plano afim) que aproxima f perto de (4,-1).

Passo 2

Vamos escrever a fórmula da aproximação linear (linearização) de uma função de duas variáveis. Se f é diferenciável em (a,b), a aproximação linear L(x,y) é:
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
Explicando cada termo:
  • f(a,b) é o valor da função no ponto onde aproximamos.
  • f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b); mede a taxa de variação de f quando só x muda, perto de (a,b).
  • f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b); mede a taxa de variação de f quando só y muda, perto de (a,b).
  • As quantidades (x-a) e (y-b) são os pequenos deslocamentos a partir do ponto.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}. Use a regra da cadeia: se f(x,y)=e^{g(x,y)} então f_x=e^{g(x,y)}\cdot g_x e f_y=e^{g(x,y)}\cdot g_y. Aqui g(x,y)=x^{2}-y^{2}.
Calcule g_x e g_y:
g_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=2x,
g_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter f_x e f_y:
f_x(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x=2x\,e^{x^{2}-y^{2}},
f_y(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot (-2y)=-2y\,e^{x^{2}-y^{2}}.
Interpretação rápida: a presença do fator e^{x^{2}-y^{2}} faz com que as derivadas sejam proporcionais ao próprio valor da função; os fatores 2x e -2y ajustam a sensibilidade nas direções x e y.

Passo 5

Avaliamo-las no ponto (a,b)=(4,-1). Primeiro calcule o expoente:
a^{2}-b^{2}=4^{2}-(-1)^{2}=16-1=15.
Portanto f(4,-1)=e^{15}. Agora as derivadas:
f_x(4,-1)=2\cdot 4\,e^{15}=8\,e^{15},
f_y(4,-1)=-2\cdot(-1)\,e^{15}=2\,e^{15}.
Resumo numérico (em termos de e^{15}): f(4,-1)=e^{15}, f_x(4,-1)=8e^{15}, f_y(4,-1)=2e^{15}.

Passo 6

Substituímos esses valores na fórmula da linearização:
L(x,y)=e^{15}+8e^{15}\,(x-4)+2e^{15}\,(y-(-1)).
Lembre que y-(-1)=y+1. Podemos fatorar e^{15} para simplificar:
L(x,y)=e^{15}\Big(1+8(x-4)+2(y+1)\Big).
Expandindo dentro do parêntese:
1+8(x-4)+2(y+1)=1+8x-32+2y+2=8x+2y-29.
Logo uma forma ainda mais simples é
L(x,y)=e^{15}\big(8x+2y-29\big).

Passo 7

Interpretação final e uso prático: para pontos (x,y) próximos de (4,-1), L(x,y) fornece uma boa aproximação de f(x,y). Por exemplo, para um deslocamento pequeno como (x,y)=(4{,}01,-0{,}99) você calcula L(4{,}01,-0{,}99) em vez de avaliar e^{x^{2}-y^{2}} exatamente — geralmente muito mais simples no papel (ainda que aqui o fator e^{15} seja grande, a forma linear mostra como pequenas variações em x e y alteram z).

Resposta

L(x,y)=e^{15}+8e^{15}(x-4)+2e^{15}(y+1)=e^{15}\big(8x+2y-29\big).

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