5 Repita o Problema 3, utilizando agora o método de Newton. Use como aproximação inicial x_{0}=2 e faça três iterações.

Passo 1

O enunciado que você me deu diz: “Repita o Problema 3, utilizando agora o método de Newton. Use como aproximação inicial x_{0}=2 e faça três iterações.”\n
Informações explícitas fornecidas:
  • Aproximação inicial \,x_{0}=2.\n
    O que está faltando e que impede a resolução numérica direta:
  • O enunciado do “Problema 3” (ou seja, a função f(x) cuja raiz devemos encontrar) não foi fornecido. Sem saber qual é f(x) — e consequentemente f'(x) — não é possível calcular numericamente as três iterações pedidas.\n

Passo 2

Explicação didática do método de Newton (Newton–Raphson), passo a passo e intuitiva.\n
Definição do método:\n
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
Aqui:
  • \,f(x) é a função cuja raiz queremos encontrar (ou seja, queremos x tal que f(x)=0).\n
  • \,f'(x) é a derivada de f em relação a x.\n
    Intuição geométrica e prática:\n
  • Em x_n construímos a reta tangente à curva y=f(x). A fórmula dá a interseção dessa reta com o eixo x; essa interseção é a próxima aproximação x_{n+1}.\n
    Condições importantes para usar sem sustos:\n
  • Precisamos que f seja diferenciável perto da raiz.\n
  • É desejável que f'(x)\neq 0 próximo da raiz (se f'(x)=0 a fórmula explode).\n
  • A convergência é geralmente muito rápida (quadrática) quando a aproximação inicial está suficientemente próxima da raiz verdadeira, mas pode falhar ou divergir se estivermos longe ou se a função for mal comportada.\n

Passo 3

Como executar as três iterações passo a passo (o algoritmo que você aplicaria na prova), sem uma calculadora sofisticada:\n
  1. Calcule f(x_0) e f'(x_0).\n
  2. Use a fórmula\n x_{1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\n
  3. Depois calcule f(x_1) e f'(x_1) e aplique\n x_{2} = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\n
  4. Repita mais uma vez para obter\n x_{3} = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\n
Dicas práticas para fazer isso à mão na prova:\n
  • Expresse frações exatamente sempre que possível (evite arredondar cedo).\n
  • Se aparecerem números racionais, simplifique frações antes de converter em decimal.\n
  • Só arredonde o resultado final de cada iteração ao número de casas necessárias (por exemplo, 4–6 casas decimais razoáveis).\n
  • Verifique \,f'(x_n) para não dividir por um número muito pequeno.\n

Passo 4

Vou mostrar um exemplo concreto — diferente do Problema 3 — para que você veja exatamente como fazer as três iterações com \,x_{0}=2. Isso é só um exemplo didático para você aprender o procedimento.\n
Exemplo: tome \,f(x)=x^{2}-2. A raiz positiva é \sqrt{2}. Temos \,f'(x)=2x.\n
Cálculo das iterações começando em \,x_{0}=2:\n
Calcule \,f(2) e \,f'(2):\n
f(2)=2^{2}-2=2,\qquad f'(2)=2\cdot 2=4.\n
Então\n x_{1}=2-\frac{f(2)}{f'(2)}=2-\frac{2}{4}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5.\n
Agora \,x_{1}=\frac{3}{2}. Calcule \,f(\tfrac{3}{2}) e \,f'(\tfrac{3}{2}):\n
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}-2=\tfrac{9}{4}-2=\tfrac{1}{4},\qquad f'\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=2\cdot \tfrac{3}{2}=3.\n
Então\n x_{2}=\tfrac{3}{2}-\frac{\tfrac{1}{4}}{3}=\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{12}=\tfrac{18}{12}-\tfrac{1}{12}=\tfrac{17}{12}\approx 1,4166\ldots\n
Agora \,x_{2}=\tfrac{17}{12}. Calcule \,f(\tfrac{17}{12}) e \,f'(\tfrac{17}{12}):\n
f\!\left(\tfrac{17}{12}\right)=\left(\tfrac{17}{12}\right)^{2}-2=\tfrac{289}{144}-2=\tfrac{1}{144}, \qquad f'\!\left(\tfrac{17}{12}\right)=2\cdot \tfrac{17}{12}=\tfrac{17}{6}.\n
Então\n x_{3}=\tfrac{17}{12}-\frac{\tfrac{1}{144}}{\tfrac{17}{6}} =\tfrac{17}{12}-\tfrac{1}{144}\cdot\frac{6}{17} =\tfrac{17}{12}-\tfrac{1}{408} =\tfrac{577}{408}\approx 1,414215686\ldots\n
Interpretação: após três iterações com f(x)=x^{2}-2 e x_{0}=2 obtemos \,x_{3}\approx 1,414215686, que já é uma excelente aproximação de \sqrt{2}.\n
Esse exemplo mostra exatamente o tipo de contas que você deve fazer na prova: calcular f(x_n), f'(x_n), montar a fração, simplificar e subtrair para obter a próxima x_{n+1}.\n

Passo 5

Conclusão específica para o seu pedido original:\n
  • Eu não posso executar as três iterações para o seu “Problema 3” porque a função \,f(x) (e, portanto, \,f'(x)) do Problema 3 não foi fornecida no enunciado que você me enviou.\n
  • Se você quiser, cole aqui o enunciado completo do Problema 3 (ou apenas a função f(x)), e eu faço imediatamente as três iterações com \,x_{0}=2 e explico cada conta passo a passo, exatamente como no exemplo acima. Estou contigo — a ansiedade é normal, mas a técnica é simples quando a gente aplica com calma. 😃

Resposta

Não é possível calcular as três iterações pedidas porque o enunciado do Problema 3 (isto é, a função f(x)) não foi fornecido.

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