Ache varepsilon_2.
a) f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2, y in [-2, 2]; x = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar para a função com no intervalo e . A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente no estudo de aproximações e termos de erro em expansões de funções. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como calcular termos de erro em uma aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na função para simplificar:
Então, a função simplifica para .

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é . Geralmente, em séries de Taylor ou aproximações, representa o termo de erro ou o resto após o segundo termo da aproximação. Para encontrar esse erro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Primeira derivada parcial em relação a :
Primeira derivada parcial em relação a :
Agora, as segundas derivadas parciais:
Segunda derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial em relação a :
Derivada mista:

Passo 5

Com as derivadas calculadas, podemos usar a fórmula do termo de erro para uma aproximação de Taylor de segunda ordem. A fórmula geral para o termo de erro é:
Neste caso, como e estamos considerando um ponto de expansão próximo, assumimos e . Portanto, a fórmula simplifica para:

Passo 6

Substituindo as derivadas que calculamos e na fórmula do erro:

Resposta

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