Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
e^{3 i} \mathbf{i}+\frac{1}{t-1} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede uma função vetor \mathbf{r}(t) cuja derivada seja
\mathbf{r}'(t)=e^{3t}\,\mathbf{i}+\frac{1}{t-1}\,\mathbf{j}.
Isso envolve integração de funções vetoriais: basta integrar componente a componente.

Passo 2

Integramos a componente na direção de \mathbf{i}:
\int e^{3t}\,dt.
Para isso usamos a primitiva de e^{3t}, que é
\frac{1}{3}e^{3t}.

Passo 3

Integramos a componente na direção de \mathbf{j}:
\int \frac{1}{t-1}\,dt.
Essa integral é o logaritmo natural deslocado, ou seja,
\ln\bigl|t-1\bigr|.

Passo 4

Juntando as duas primitivas e incluindo a constante de integração vetorial \mathbf{C}=C_{1}\,\mathbf{i}+C_{2}\,\mathbf{j}, obtemos a solução geral
\mathbf{r}(t)=\frac{1}{3}e^{3t}\,\mathbf{i}+\ln\bigl|t-1\bigr|\,\mathbf{j}+C_{1}\,\mathbf{i}+C_{2}\,\mathbf{j}.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\Bigl(\tfrac{1}{3}e^{3t}+C_{1}\Bigr)\mathbf{i}+\bigl(\ln\lvert t-1\rvert +C_{2}\bigr)\mathbf{j},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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