Ache \mathbf{R}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{R}^{\prime \prime}(t).
\mathbf{R}(t)=e^{2 t} \mathbf{i}+e^{-2 t} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede o produto escalar entre a primeira e a segunda derivada de \mathbf{R}(t). O conteúdo é cálculo de derivadas de funções vetoriais e definição de produto escalar. Vamos derivar componente a componente e aplicar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_xb_x+a_yb_y.

Passo 2

Derivando cada componente de \mathbf{R}(t)=e^{2t}\,\mathbf{i}+e^{-2t}\,\mathbf{j} pelo teorema da cadeia, obtemos
\mathbf{R}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\bigr)\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}\bigr)\,\mathbf{j} =2e^{2t}\,\mathbf{i}-2e^{-2t}\,\mathbf{j}.

Passo 3

Derivando novamente \mathbf{R}'(t)=2e^{2t}\,\mathbf{i}-2e^{-2t}\,\mathbf{j}, obtemos
\mathbf{R}''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2e^{2t}\bigr)\,\mathbf{i}-\frac{d}{dt}\bigl(2e^{-2t}\bigr)\,\mathbf{j} =4e^{2t}\,\mathbf{i}+4e^{-2t}\,\mathbf{j}.

Passo 4

Aplicando o produto escalar
\mathbf{R}'(t)\cdot\mathbf{R}''(t) =(2e^{2t})(4e^{2t})+(-2e^{-2t})(4e^{-2t}) =8e^{4t}-8e^{-4t} =8\bigl(e^{4t}-e^{-4t}\bigr).

Resposta

\,8\bigl(e^{4t}-e^{-4t}\bigr)

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