Ache \mathbf{R}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{R}^{\prime \prime}(t).
\mathbf{R}(t)=-\cos 2 t \mathbf{i}+\operatorname{sen} 2 t \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar \mathbf{R}'(t)\cdot\mathbf{R}''(t), onde
\mathbf{R}(t) = -\cos(2t)\,\mathbf{i} + \sin(2t)\,\mathbf{j}.
Isto envolve derivar a função vetorial uma vez para obter \mathbf{R}'(t) e duas vezes para obter \mathbf{R}''(t), e então fazer o produto escalar desses resultados.

Passo 2

Calcular a primeira derivada \mathbf{R}'(t).
Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl[-\cos(2t)\bigr] = -\bigl(-\sin(2t)\bigr)\cdot 2 = 2\sin(2t),
\frac{d}{dt}\bigl[\sin(2t)\bigr] = \cos(2t)\cdot 2 = 2\cos(2t).
Logo,
\mathbf{R}'(t) = 2\sin(2t)\,\mathbf{i} + 2\cos(2t)\,\mathbf{j}.

Passo 3

Calcular a segunda derivada \mathbf{R}''(t).
Derivando \mathbf{R}'(t):
\frac{d}{dt}\bigl[2\sin(2t)\bigr] = 2\cos(2t)\cdot 2 = 4\cos(2t),
\frac{d}{dt}\bigl[2\cos(2t)\bigr] = -2\sin(2t)\cdot 2 = -4\sin(2t).
Assim,
\mathbf{R}''(t) = 4\cos(2t)\,\mathbf{i} - 4\sin(2t)\,\mathbf{j}.

Passo 4

Fazer o produto escalar \mathbf{R}'(t)\cdot\mathbf{R}''(t).
Pelo cálculo:
\mathbf{R}'(t)\cdot\mathbf{R}''(t) = \bigl(2\sin(2t)\bigr)\bigl(4\cos(2t)\bigr) + \bigl(2\cos(2t)\bigr)\bigl(-4\sin(2t)\bigr).
Ou seja,
8\sin(2t)\cos(2t) - 8\cos(2t)\sin(2t) = 0.

Resposta

\mathbf{R}'(t)\cdot\mathbf{R}''(t) = 0.

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